Упр.21.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.23 а)интеграл (-1;1) (|x-1|+|x+1|)dx; б)интеграл (-4;0) (|x-2|+|x+3|)dx; в)интеграл (1;2) (|x-1| + |x+1|)dx; г)интеграл (-4;4) (|x-2|+|x+3|)dx.

1. а) На отрезке $$[-1;1]$$ имеем $$|x-1|=1-x$$ и $$|x+1|=x+1$$, поэтому

   $$ \int\limits_{-1}^{1} (|x-1|+|x+1|)\,dx = \int\limits_{-1}^{1} \bigl((1-x)+(x+1)\bigr)\,dx = \int\limits_{-1}^{1} 2\,dx =2x\Big|_{-1}^{1}=4. $$

2. б) Разобьём отрезок $$[-4;0]$$ точками $$-3$$ и $$-2$$:

   $$ |x-2|=\begin{cases} 2-x, & x\le 2,\\ x-2, & x\ge 2, \end{cases} \qquad |x+3|=\begin{cases} -x-3, & x\le -3,\\ x+3, & x\ge -3. \end{cases} $$

   Тогда

   $$ \int\limits_{-4}^{0} (|x-2|-|x+3|)\,dx = \int\limits_{-4}^{-3} 5\,dx + \int\limits_{-3}^{0} (-2x-1)\,dx. $$

   $$ \int\limits_{-4}^{-3} 5\,dx=5, \qquad \int\limits_{-3}^{0} (-2x-1)\,dx = \bigl(-x^2-x\bigr)\Big|_{-3}^{0}=6. $$

   Следовательно,

   $$ \int\limits_{-4}^{0} (|x-2|-|x+3|)\,dx=5+6=11. $$

3. в) На отрезке $$[1;2]$$ имеем $$|x-1|=x-1$$ и $$|x+1|=x+1$$, значит

   $$ \int\limits_{1}^{2} (|x-1|+|x+1|)\,dx = \int\limits_{1}^{2} (2x)\,dx = x^2\Big|_{1}^{2}=4-1=3. $$

4. г) Разобьём отрезок $$[-4;4]$$ точками $$-3$$ и $$2$$:

   $$ \int\limits_{-4}^{4} (|x-2|-|x+3|)\,dx = \int\limits_{-4}^{-3} 5\,dx + \int\limits_{-3}^{2} (-2x-1)\,dx + \int\limits_{2}^{4} (-5)\,dx. $$

   Вычислим:

   $$ \int\limits_{-4}^{-3} 5\,dx=5, \qquad \int\limits_{-3}^{2} (-2x-1)\,dx = \bigl(-x^2-x\bigr)\Big|_{-3}^{2}=-15, $$

   $$ \int\limits_{2}^{4} (-5)\,dx=-10. $$

   Тогда

   $$ \int\limits_{-4}^{4} (|x-2|-|x+3|)\,dx=5-15-10=-20. $$

Ответ

а) $$4$$; б) $$11$$; в) $$3$$; г) $$-20$$.