Упр.21.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Вычислите: 21.22 а)интеграл (2;3) (|x2-4| + 2x)dx; б)интеграл (0;1) (|x2+2| + |x-5|)dx; в)интеграл (-2;2) (|x2-4|+2x)dx; г)интеграл (-2;-1) (|x4+2×2+3| + |x+1|)dx.

Подробный ответ

а) На отрезке $$[2;3]$$ имеем $$x^2-4 \ge 0$$, значит $$|x^2-4|=x^2-4$$.

$$ \int\limits_{2}^{3} (|x^2-4|+2x)\,dx = \int\limits_{2}^{3} (x^2-4+2x)\,dx = \int\limits_{2}^{3} (x^2+2x-4)\,dx $$
$$ = \left(\frac{x^3}{3}+x^2-4x\right)\Bigg|_{2}^{3} = \left(9+9-12\right)-\left(\frac{8}{3}+4-8\right) = 6-\left(\frac{8}{3}-4\right) = \frac{22}{3}. $$

б) На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$x^2+2>0$$ и $$x-5<0$$, поэтому

$$ |x^2+2|=x^2+2,\qquad |x-5|=5-x. $$
$$ \int\limits_{0}^{1} (|x^2+2|+|x-5|)\,dx = \int\limits_{0}^{1} (x^2+2+5-x)\,dx = \int\limits_{0}^{1} (x^2-x+7)\,dx $$
$$ = \left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+7x\right)\Bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+7 = \frac{41}{6}. $$

в) На отрезке $$[-2;2]$$ имеем $$x^2-4 \le 0$$, значит $$|x^2-4|=4-x^2$$.

$$ \int\limits_{-2}^{2} (|x^2-4|+2x)\,dx = \int\limits_{-2}^{2} (4-x^2+2x)\,dx $$
$$ = \left(4x-\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_{-2}^{2} = \left(8-\frac{8}{3}+4\right)-\left(-8+\frac{8}{3}+4\right) = \frac{32}{3}. $$

г) Для всех $$x$$ выполняется $$x^4+2x^2+3>0$$, а на отрезке $$[-2;-1]$$ имеем $$x+1\le 0$$, поэтому

$$ |x^4+2x^2+3|=x^4+2x^2+3,\qquad |x+1|=-x-1. $$
$$ \int\limits_{-2}^{-1} (|x^4+2x^2+3|+|x+1|)\,dx = \int\limits_{-2}^{-1} (x^4+2x^2-x+2)\,dx $$
$$ = \left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{-1} = \left(-\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}-2\right) — \left(-\frac{32}{5}-\frac{16}{3}-2-4\right) = \frac{431}{30}. $$