Упр.21.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.20 Вычислите: а)интеграл (-Пи/6;Пи/3), где f(x)=система 2/cos2(2x) — 1, если x < 0, sin(x/2), если x больше или равно 0; б)интеграл (-Пи/2;3), где f(x)=система -sin(x-Пи/2), если x меньше или равно 0, 1/корень (x+1), если x > 0.

а) Разобьём интеграл по точке смены задания функции:

$$ \int_{-\pi/6}^{\pi/3} f(x)\,dx = \int_{-\pi/6}^{0}\left(\frac{2}{\cos^2 2x}-1\right)\,dx + \int_{0}^{\pi/3}\sin\frac{x}{2}\,dx. $$

$$ \int \left(\frac{2}{\cos^2 2x}-1\right)\,dx = \int 2\sec^2 2x\,dx-\int 1\,dx = \tan 2x-x, $$
$$ \int \sin\frac{x}{2}\,dx=-2\cos\frac{x}{2}. $$

$$ \int_{-\pi/6}^{\pi/3} f(x)\,dx = \left(\tan 2x-x\right)\Big|_{-\pi/6}^{0} + \left(-2\cos\frac{x}{2}\right)\Big|_{0}^{\pi/3}. $$

$$ \left(\tan 2x-x\right)\Big|_{-\pi/6}^{0} = 0-\left(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}-\frac{\pi}{6}, $$
$$ \left(-2\cos\frac{x}{2}\right)\Big|_{0}^{\pi/3} = -2\cos\frac{\pi}{6}+2\cos 0 = -\sqrt{3}+2. $$

$$ \int_{-\pi/6}^{\pi/3} f(x)\,dx = \left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}\right)+(-\sqrt{3}+2) = 2-\frac{\pi}{6}. $$

б) Снова разобьём интеграл:

$$ \int_{-\pi/2}^{3} f(x)\,dx = \int_{-\pi/2}^{0}-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\,dx + \int_{0}^{3}\frac{dx}{\sqrt{x+1}}. $$

Так как
$$ -\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos x, $$
то
$$ \int_{-\pi/2}^{0}-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\,dx = \int_{-\pi/2}^{0}\cos x\,dx = \sin x\Big|_{-\pi/2}^{0} = 1. $$

$$ \int_{0}^{3}\frac{dx}{\sqrt{x+1}} = \int_{0}^{3}(x+1)^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x+1}\Big|_{0}^{3} = 2\cdot 2-2\cdot 1 = 2. $$

$$ \int_{-\pi/2}^{3} f(x)\,dx=1+2=3. $$

Ответ

а) $$2-\frac{\pi}{6}$$; б) $$3$$.