Упр.21.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.2 а)интеграл (1;2) (3/x2 + x2+2)dx; в)интеграл (-2;-1) (-5/x2 + x4-3x)dx; б)интеграл (0;1) (2/ корень (x+1) — 3/ корень (x+1)2)dx;г)интеграл (5;8) (2/(x-2)2 — 1/корень (x-4))dx.

1. а) $$\int\limits_{1}^{2}\left(\frac{3}{x^2}+x^2+2\right)\,dx=\int\limits_{1}^{2}\left(3x^{-2}+x^2+2\right)\,dx$$

   $$\int\left(3x^{-2}+x^2+2\right)\,dx=-\frac{3}{x}+\frac{x^3}{3}+2x$$

   $$\int\limits_{1}^{2}\left(\frac{3}{x^2}+x^2+2\right)\,dx=\left(-\frac{3}{x}+\frac{x^3}{3}+2x\right)\Bigg|_{1}^{2}$$

   $$=\left(-\frac{3}{2}+\frac{8}{3}+4\right)-\left(-3+\frac{1}{3}+2\right)=\frac{35}{6}-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{45}{6}=\frac{15}{2}$$

2. б) $$\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{2}{\sqrt{x+1}}-\frac{3}{(x+1)^2}\right)\,dx=\int\limits_{0}^{1}\left(2(x+1)^{-\frac12}-3(x+1)^{-2}\right)\,dx$$

   $$\int\left(2(x+1)^{-\frac12}-3(x+1)^{-2}\right)\,dx=4\sqrt{x+1}+\frac{3}{x+1}$$

   $$\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{2}{\sqrt{x+1}}-\frac{3}{(x+1)^2}\right)\,dx=\left(4\sqrt{x+1}+\frac{3}{x+1}\right)\Bigg|_{0}^{1}$$

   $$=\left(4\sqrt2+\frac32\right)-\left(4+3\right)=4\sqrt2-\frac{11}{2}$$

3. в) $$\int\limits_{-2}^{-1}\left(-\frac{5}{x^2}+x^4-3x\right)\,dx=\int\limits_{-2}^{-1}\left(-5x^{-2}+x^4-3x\right)\,dx$$

   $$\int\left(-5x^{-2}+x^4-3x\right)\,dx=\frac{5}{x}+\frac{x^5}{5}-\frac{3x^2}{2}$$

   $$\int\limits_{-2}^{-1}\left(-\frac{5}{x^2}+x^4-3x\right)\,dx=\left(\frac{5}{x}+\frac{x^5}{5}-\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{-2}^{-1}$$

   $$=\left(-5-\frac15-\frac32\right)-\left(-\frac52-\frac{32}{5}-6\right)=\frac{41}{5}$$

4. г) $$\int\limits_{5}^{8}\left(\frac{2}{(x-2)^2}-\frac{1}{\sqrt{x-4}}\right)\,dx=\int\limits_{5}^{8}\left(2(x-2)^{-2}-(x-4)^{-\frac12}\right)\,dx$$

   $$\int\left(2(x-2)^{-2}-(x-4)^{-\frac12}\right)\,dx=-\frac{2}{x-2}-2\sqrt{x-4}$$

   $$\int\limits_{5}^{8}\left(\frac{2}{(x-2)^2}-\frac{1}{\sqrt{x-4}}\right)\,dx=\left(-\frac{2}{x-2}-2\sqrt{x-4}\right)\Bigg|_{5}^{8}$$

   $$=\left(-\frac{2}{6}-2\sqrt4\right)-\left(-\frac{2}{3}-2\sqrt1\right)=-\frac13-4+\frac23+2=-\frac53$$

Ответ

а) $$\frac{15}{2}$$; б) $$4\sqrt2-\frac{11}{2}$$; в) $$\frac{41}{5}$$; г) $$-\frac{5}{3}$$.