Упр.21.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.19 Вычислите: а)интеграл (-3;6) f(x)dx, где f(x)=система x2,если -3 меньше или равно x меньше или равно 2, 6-x, если x > 2; б)интеграл (1/4;2) f(x)dx, где f(x)= система 1/корень x , если 0 < x меньше или равно 1, x3,если x > 1.
а) Разобьём интеграл по точке смены формулы:
$$ \int_{-3}^{6} f(x)\,dx=\int_{-3}^{2} x^2\,dx+\int_{2}^{6} (6-x)\,dx $$
$$ \int_{-3}^{2} x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^{2}=\frac{8}{3}-\left(-\frac{27}{3}\right)=\frac{35}{3} $$
$$ \int_{2}^{6} (6-x)\,dx=\left.(6x-\frac{x^2}{2})\right|_{2}^{6}=(36-18)-(12-2)=18-10=8 $$
$$ \int_{-3}^{6} f(x)\,dx=\frac{35}{3}+8=\frac{35}{3}+\frac{24}{3}=\frac{59}{3} $$
б) Снова разобьём интеграл по точке смены формулы:
$$ \int_{1/4}^{2} f(x)\,dx=\int_{1/4}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx+\int_{1}^{2} x^3\,dx $$
$$ \int_{1/4}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\int_{1/4}^{1} x^{-1/2}\,dx=\left.2\sqrt{x}\right|_{1/4}^{1}=2-2\cdot\frac12=1 $$
$$ \int_{1}^{2} x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{1}^{2}=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4} $$
$$ \int_{1/4}^{2} f(x)\,dx=1+\frac{15}{4}=\frac{19}{4} $$
Ответ
а) $$\frac{59}{3}$$; б) $$\frac{19}{4}$$.
