Упр.21.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.17 а)интеграл (1;2) dx/x;в)интеграл (0;1) 0,1/(x+1)dx; б)интеграл (1;2) (ex+1/x)dx;г)интеграл (1;2) (e^2x + 2/x)dx.

1. $$\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x}=\ln|x|\Big|_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2.$$

2. $$\int\limits_{1}^{2}\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=\left(e^x+\ln|x|\right)\Big|_{1}^{2}$$

   $$=(e^2+\ln 2)-(e+\ln 1)=e^2+\ln 2-e=e^2-e+\ln 2.$$

3. $$\int\limits_{0}^{1}\frac{0{,}1}{x+1}\,dx=0{,}1\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x+1}=0{,}1\ln|x+1|\Big|_{0}^{1}$$

   $$=0{,}1(\ln 2-\ln 1)=0{,}1\ln 2.$$

4. $$\int\limits_{1}^{2}\left(e^{2x}+\frac{2}{x}\right)dx=\int\limits_{1}^{2}e^{2x}\,dx+2\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x}.$$

   $$\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x},$$

   поэтому

   $$\int\limits_{1}^{2}\left(e^{2x}+\frac{2}{x}\right)dx=\left(\frac{1}{2}e^{2x}+2\ln|x|\right)\Big|_{1}^{2}$$

   $$=\left(\frac{1}{2}e^4+2\ln 2\right)-\left(\frac{1}{2}e^2+2\ln 1\right)=\frac{1}{2}(e^4-e^2)+2\ln 2.$$

Ответ

а) $$\ln 2$$; б) $$e^2-e+\ln 2$$; в) $$0{,}1\ln 2$$; г) $$\frac{1}{2}(e^4-e^2)+2\ln 2$$.