Упр.21.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Вычислите интеграл: 21.14 а)интеграл (0;4) корень x(x+1)dx; в)интеграл (2/3;11) 5*корень 5 степени (3x-1) dx; б)интеграл (-1;0) корень 3 степени (1-2x) dx; г)интеграл (2;3) (5x-7)^-2/3 dx.

1. а) $$\int_0^4 \sqrt{x}(x+1)\,dx=\int_0^4 \left(x^{3/2}+x^{1/2}\right)\,dx$$

   $$=\left(\frac{2}{5}x^{5/2}+\frac{2}{3}x^{3/2}\right)\Bigg|_0^4$$

   $$=\frac{2}{5}\cdot 4^{5/2}+\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}=\frac{2}{5}\cdot 32+\frac{2}{3}\cdot 8$$

   $$=\frac{64}{5}+\frac{16}{3}=\frac{192+80}{15}=\frac{272}{15}=18\frac{2}{15}.$$

2. б) $$\int_{-1}^0 \sqrt[3]{1-2x}\,dx=\int_{-1}^0 (1-2x)^{1/3}\,dx$$

   Сделаем замену: $$u=1-2x,\quad du=-2\,dx,\quad dx=-\frac{1}{2}du.$$

   Тогда

   $$\int_{-1}^0 (1-2x)^{1/3}\,dx=-\frac{1}{2}\int_{3}^{1}u^{1/3}\,du=\frac{1}{2}\int_{1}^{3}u^{1/3}\,du.$$

   $$=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}u^{4/3}\Bigg|_1^3=\frac{3}{8}\left(3^{4/3}-1\right)=\frac{3}{8}(3\sqrt[3]{3}-1).$$

3. в) $$\int_{2/3}^{11} 5\sqrt[5]{3x-1}\,dx=\int_{2/3}^{11} 5(3x-1)^{1/5}\,dx$$

   Сделаем замену: $$u=3x-1,\quad du=3\,dx,\quad dx=\frac{1}{3}du.$$

   Тогда

   $$\int_{2/3}^{11} 5(3x-1)^{1/5}\,dx=\frac{5}{3}\int_{1}^{32}u^{1/5}\,du$$

   $$=\frac{5}{3}\cdot \frac{5}{6}u^{6/5}\Bigg|_1^{32}=\frac{25}{18}\left(32^{6/5}-1\right).$$

   Так как $$32^{6/5}=(2^5)^{6/5}=2^6=64,$$ то

   $$\frac{25}{18}(64-1)=\frac{25}{18}\cdot 63=\frac{175}{2}=87{,}5.$$

4. г) $$\int_2^3 (5x-7)^{-2/3}\,dx$$

   Сделаем замену: $$u=5x-7,\quad du=5\,dx,\quad dx=\frac{1}{5}du.$$

   Тогда

   $$\int_2^3 (5x-7)^{-2/3}\,dx=\frac{1}{5}\int_{3}^{8}u^{-2/3}\,du$$

   $$=\frac{1}{5}\cdot 3u^{1/3}\Bigg|_3^8=\frac{3}{5}\left(8^{1/3}-3^{1/3}\right).$$

   Так как $$8^{1/3}=2,$$ получаем

   $$\frac{3}{5}\left(2-\sqrt[3]{3}\right).$$

Ответ

а) $$18\frac{2}{15}$$; б) $$\frac{3}{8}(3\sqrt[3]{3}-1)$$; в) $$87{,}5$$; г) $$\frac{3}{5}(2-\sqrt[3]{3})$$.