Упр.21.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.13 а)интеграл (Пи/6;Пи/4) (sin2(x-3Пи/2)cos(2Пи-x))/(tg2(x-Пи/2)сos2(x-3Пи/2)) dx; б)интеграл (Пи/4;Пи/3) (tg2(x-Пи/2)ctg2(3Пи/2 + x))/((cos2(Пи-x) + sin2(Пи/2-x)+cos(Пи + x)cos(2Пи — x))dx; в)интеграл (Пи/4;Пи/3) sin(Пи-x)/tg(Пи-x) * ctg(Пи/2 — x)/tg(Пи/2 + x) * cos(2Пи-x)/sin(-x) dx; г)интеграл (Пи/4;Пи/3) (sin(3Пи/2 — x)tg(Пи-x))/(cos2(Пи/2 -x)cos(Пи+x)tg(3Пи/2 + x)) dx.
а)
$$\int\limits_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)\cos(2\pi-x)}{\tg^2\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\cos^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)}\,dx$$
$$=\int\limits_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{\cos^2 x\cdot \cos x}{\ctg^2 x\cdot \sin^2 x}\,dx =\int\limits_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{\ctg^2 x\cdot \cos x}{\ctg^2 x}\,dx =\int\limits_{\pi/6}^{\pi/4}\cos x\,dx.$$$$\int\limits_{\pi/6}^{\pi/4}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{\pi/6}^{\pi/4} =\sin\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt2}{2}-\frac12 =\frac{\sqrt2-1}{2}.$$
б)
$$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\tg^2\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\ctg^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}{\cos^2(\pi-x)+\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos(\pi+x)\cos(2\pi-x)}\,dx$$
$$=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\ctg^2 x\cdot \tg^2 x}{\cos^2 x+\cos^2 x-\cos x\cdot \cos x}\,dx =\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{dx}{\cos^2 x}.$$$$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{dx}{\cos^2 x}=\tg x\Big|_{\pi/4}^{\pi/3} =\tg\frac{\pi}{3}-\tg\frac{\pi}{4} =\sqrt3-1.$$
в)
$$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\sin(\pi-x)}{\tg(\pi-x)}\cdot \frac{\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\cdot \frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(-x)}\,dx$$
$$=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\sin x}{-\tg x}\cdot \frac{-\tg x}{-\ctg x}\cdot \frac{\cos x}{-\sin x}\,dx =\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\cos x}{\ctg x}\,dx.$$$$\frac{\cos x}{\ctg x}=\frac{\cos x}{\cos x/\sin x}=\sin x,$$
значит
$$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\sin x\,dx =-\cos x\Big|_{\pi/4}^{\pi/3} =-\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{4} =-\frac12+\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2-1}{2}.$$г)
$$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\tg(\pi-x)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos(\pi+x)\tg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}\,dx$$
$$=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{-\cos x\cdot(-\tg x)}{\sin^2 x\cdot(-\cos x)\cdot(-\ctg x)}\,dx =\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\tg x}{\sin^2 x\cdot \ctg x}\,dx.$$Так как $$\tg x\cdot \tg x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x},$$
то
$$\frac{\tg x}{\sin^2 x\cdot \ctg x}=\frac{1}{\cos^2 x}.$$
Следовательно,
$$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{dx}{\cos^2 x} =\tg x\Big|_{\pi/4}^{\pi/3} =\sqrt3-1.$$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt2-1}{2}$$; б) $$\sqrt3-1$$; в) $$\frac{\sqrt2-1}{2}$$; г) $$\sqrt3-1$$.
