Упр.21.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.12 а)интеграл (0;Пи) (sin(Пи/3 + x)cosx — sinxcos(Пи/3 + x))dx; б)интеграл (Пи/3;5Пи/6) (сos2xcos(Пи/3 — x)-sin2xsin(Пи/3 — x))dx.
а) Используем формулу
$$\sin \alpha \cos \beta-\sin \beta \cos \alpha=\sin(\alpha-\beta).$$
Тогда
$$ \int_0^\pi \left(\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\cos x-\sin x\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\right)\,dx =\int_0^\pi \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\,dx. $$
Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ получаем
$$ \int_0^\pi \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\,dx =\int_0^\pi \frac{\sqrt{3}}{2}\,dx =\frac{\sqrt{3}}{2}x\Big|_0^\pi =\frac{\pi\sqrt{3}}{2}. $$
б) Используем формулу
$$\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos(A+B).$$
Тогда
$$ \int_{\pi/3}^{5\pi/6}\left(\cos 2x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)-\sin 2x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\right)\,dx =\int_{\pi/3}^{5\pi/6}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}-x\right)\,dx. $$
Следовательно,
$$ \int_{\pi/3}^{5\pi/6}\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx =\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\Big|_{\pi/3}^{5\pi/6}. $$
Подставим пределы:
$$ \sin\left(\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right) =\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)-\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right). $$
Так как $$\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac12,$$ а $$\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2},$$ то
$$ -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}. $$
Ответ
а) $$\frac{\pi\sqrt3}{2}$$; б) $$-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}$$.
