Упр.21.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.11 а)интеграл (0;Пи/4) (1+tg2(x))dx;в)интеграл (Пи/4;Пи/3) (сtg2(x) + 1)dx; б)интеграл (Пи/3;Пи/4) (3-3сtg2(x))dx; г)интеграл (Пи/6;Пи/4) (1+2tg2(x))dx.
$$\int\limits_{0}^{\pi/4}(1+\tg^2 x)\,dx=\int\limits_{0}^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}=\tg x\Big|_{0}^{\pi/4}=\tg\frac{\pi}{4}-\tg 0=1.$$
$$\int\limits_{\pi/3}^{\pi/4}(3-3\ctg^2 x)\,dx=\int\limits_{\pi/3}^{\pi/4}\left(6-\frac{3}{\sin^2 x}\right)\,dx=(6x+3\ctg x)\Big|_{\pi/3}^{\pi/4}.$$
$$ (6\cdot\tfrac{\pi}{4}+3\ctg\tfrac{\pi}{4})-(6\cdot\tfrac{\pi}{3}+3\ctg\tfrac{\pi}{3}) =\frac{3\pi}{2}+3-2\pi-\sqrt{3} =3-\frac{\pi}{2}-\sqrt{3}. $$
$$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}(\ctg^2 x+1)\,dx=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{dx}{\sin^2 x}=(-\ctg x)\Big|_{\pi/4}^{\pi/3}.$$
$$-\ctg\frac{\pi}{3}+\ctg\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1.$$
$$\int\limits_{\pi/6}^{\pi/4}(1+2\tg^2 x)\,dx=\int\limits_{\pi/6}^{\pi/4}\left(\frac{2}{\cos^2 x}-1\right)\,dx=(2\tg x-x)\Big|_{\pi/6}^{\pi/4}.$$
$$ \left(2\tg\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)-\left(2\tg\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right) =2-\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\pi}{6} =2-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi}{12}. $$
Ответ
а) $$1$$; б) $$3-\frac{\pi}{2}-\sqrt{3}$$; в) $$1-\frac{\sqrt{3}}{3}$$; г) $$2-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi}{12}$$.
