Упр.21.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Вычислите интеграл: 21.10 а)интеграл (0;3Пи/4) (6sin(x/3)cos(x/3))dx; в)интеграл (0;-Пи/8) (sin2(2x) — cos2(2x))dx; б)интеграл (-Пи;0) (2sin(x/4)-1)dx; г)интеграл (0;-3Пи/4) (1-2cos2(x/3))dx.

1. а)

   $$\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{4}} 6\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}\,dx =\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{4}} 3\sin\frac{2x}{3}\,dx$$

   $$\int 3\sin\frac{2x}{3}\,dx =3\cdot\left(-\frac{3}{2}\cos\frac{2x}{3}\right) =-\frac{9}{2}\cos\frac{2x}{3}$$

   $$ \int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{4}} 6\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}\,dx =\left.-\frac{9}{2}\cos\frac{2x}{3}\right|_{0}^{\frac{3\pi}{4}} =-\frac{9}{2}\cos\frac{\pi}{2}+\frac{9}{2}\cos 0 =\frac{9}{2} $$

2. б)

   $$\int\limits_{-\pi}^{0}\left(2\sin^2\frac{x}{4}-1\right)\,dx =\int\limits_{-\pi}^{0}\left(2\cdot\frac{1-\cos\frac{x}{2}}{2}-1\right)\,dx =\int\limits_{-\pi}^{0}\left(-\cos\frac{x}{2}\right)\,dx$$

   $$\int -\cos\frac{x}{2}\,dx=-2\sin\frac{x}{2}$$

   $$ \int\limits_{-\pi}^{0}\left(2\sin^2\frac{x}{4}-1\right)\,dx =\left.-2\sin\frac{x}{2}\right|_{-\pi}^{0} =-2\sin 0+2\sin\frac{\pi}{2} =2 $$

3. в)

   $$\int\limits_{0}^{-\frac{\pi}{8}}\left(\sin^2 2x-\cos^2 2x\right)\,dx =\int\limits_{0}^{-\frac{\pi}{8}}(-\cos 4x)\,dx$$

   $$\int -\cos 4x\,dx=-\frac14\sin 4x$$

   $$ \int\limits_{0}^{-\frac{\pi}{8}}\left(\sin^2 2x-\cos^2 2x\right)\,dx =\left.-\frac14\sin 4x\right|_{0}^{-\frac{\pi}{8}} =-\frac14\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\frac14\sin 0 =\frac14 $$

4. г)

   $$\int\limits_{0}^{-\frac{3\pi}{4}}\left(1-2\cos^2\frac{x}{3}\right)\,dx =\int\limits_{0}^{-\frac{3\pi}{4}}\left(1-2\cdot\frac{1+\cos\frac{2x}{3}}{2}\right)\,dx =\int\limits_{0}^{-\frac{3\pi}{4}}\left(-\cos\frac{2x}{3}\right)\,dx$$

   $$\int -\cos\frac{2x}{3}\,dx=-\frac32\sin\frac{2x}{3}$$

   $$ \int\limits_{0}^{-\frac{3\pi}{4}}\left(1-2\cos^2\frac{x}{3}\right)\,dx =\left.-\frac32\sin\frac{2x}{3}\right|_{0}^{-\frac{3\pi}{4}} =-\frac32\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\frac32\sin 0 =\frac32 $$

Ответ

а) $$\frac{9}{2}$$; б) $$2$$; в) $$\frac14$$; г) $$\frac32$$.