Упр.20.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.9 Установите,является ли функция y=F(x) первообразной для функции y=f(x): F(x)=система x5/5 + 2/3 * x3, если x больше или равно 0, -x5/5 — 2/3*x3, если x < 0, f(x)=|x|(x3+2x); б) F(x)= система x3/3+x2/2 - 25x + 83 1/3, если x < -5, x больше или равно 5, -x3/3+x2/2+25x-83 1/3, если |x| < 5, f(x)=|x2-25|+x.

Подробный ответ

а) Рассмотрим случаи.

Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ поэтому

$$F(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{2}{3}x^3,$$

$$F'(x)=x^4+2x^2=x(x^3+2x)=|x|(x^3+2x)=f(x).$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ поэтому

$$F(x)=-\frac{x^5}{5}-\frac{2}{3}x^3,$$

$$F'(x)=-x^4-2x^2=-|x|(x^3+2x)=f(x).$$

В точке $$x=0$$ функция $$F(x)$$ непрерывна, так как $$F(0)=0,$$ и производная слева и справа совпадает с $$f(0)=0.$$ Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x).$$

б) Найдём вид функции $$f(x).$$

Если $$|x|>5,$$ то $$x^2-25>0,$$ значит

$$f(x)=|x^2-25|+x=x^2-25+x.$$

Если $$|x|<5,$$ то $$x^2-25<0,$$ значит

$$f(x)=|x^2-25|+x=25-x^2+x.$$

Теперь дифференцируем $$F(x).$$

Если $$x<-5$$ или $$x\ge 5,$$ то

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-25x+83\frac{1}{3},$$

$$F'(x)=x^2+x-25=f(x).$$

Если $$|x|<5,$$ то

$$F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+25x-83\frac{1}{3},$$

$$F'(x)=-x^2+x+25=25-x^2+x=f(x).$$