Упр.20.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Установите,является ли функция y=F(x) первообразной для функции y=f(x) на промежутке X: 20.7 а)F(x)=3cosx-x6,f(x)=-3sinx-6×5,X=R; б)F(x)=-4sinx + 2/x3, f(x)=4cos — 6/x2, X=(0;+бесконечность); в)F(x)=2 корень x — 4/(3x+1)4, f(x)=1/корень x + 16/(3x+1)5, X=(0;+бесконечность); г)F(x)=13/x2 — 2sin(4x+5), f(x)=26/x — 2cos(4x+5), X=(-бесконечность;0).

1. а) Найдём производную функции $$F(x)=3\cos x-x^6$$:

   $$F'(x)=3(-\sin x)-6x^5=-3\sin x-6x^5.$$

   Так как $$F'(x)=f(x),$$ то функция $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$ на $$X=\mathbb{R}.$$

2. б) Для $$F(x)=-4\sin x+\frac{2}{x^3}$$ имеем:

   $$F'(x)=-4\cos x+2\cdot(-3)x^{-4}=-4\cos x-\frac{6}{x^4}.$$

   Но $$f(x)=4\cos x-\frac{6}{x^2},$$ поэтому $$F'(x)\ne f(x).$$ Следовательно, $$F(x)$$ не является первообразной для $$f(x)$$ на $$X=(0;+\infty).$$

3. в) Для $$F(x)=2\sqrt{x}-\frac{4}{(3x+1)^4}$$ найдём производную:

   $$F'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-\;4\cdot(-4)(3x+1)^{-5}\cdot 3?$$

   Учитывая, что

   $$\left(\frac{1}{(3x+1)^4}\right)’=-4(3x+1)^{-5}\cdot 3,$$

   получаем

   $$F'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{16}{(3x+1)^5}.$$

   Это совпадает с $$f(x),$$ значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$X=(0;+\infty).$$

4. г) Для $$F(x)=\frac{13}{x^2}-2\sin(4x+5)$$ имеем:

   $$F'(x)=13\cdot(-2)x^{-3}-2\cos(4x+5)\cdot 4=-\frac{26}{x^3}-8\cos(4x+5).$$

   Так как $$F'(x)\ne f(x),$$ то $$F(x)$$ не является первообразной для $$f(x)$$ на $$X=(-\infty;0).$$

Ответ

а) да; б) нет; в) да; г) нет.