Упр.20.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.6 а)F(x)= система x3/3+x2/2 — 4x+16/3 , если |x| > 2, -x2/3+x2/2 + 4x-16/3, если |x| < 2, f(x)=|x2-4| + x; б)F(x)=система x3/3 - 3x2-9x, если |x| больше или равно 3, -x3/3 - 3x2+9x-36, если |x| < 3, f(x)=|x2-9| - 6x.

а) Найдём производную функции $$F(x)$$ по частям.

Если $$|x|>2$$, то

$$ F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-4x+\frac{16}{3}, $$

тогда

$$ F'(x)=x^2+x-4. $$

При $$|x|>2$$ имеем $$x^2-4>0$$, значит

$$ |x^2-4|=x^2-4, $$

и потому

$$ F'(x)=x^2-4+x=|x^2-4|+x=f(x). $$

Если $$|x|<2$$, то

$$ F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+4x-\frac{16}{3}, $$

тогда

$$ F'(x)=-x^2+x+4. $$

При $$|x|<2$$ имеем $$x^2-4<0$$, значит

$$ |x^2-4|=-(x^2-4)=-x^2+4, $$

и поэтому

$$ F'(x)=-x^2+4+x=|x^2-4|+x=f(x). $$

Следовательно, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.

б) Найдём производную функции $$F(x)$$ по частям.

Если $$|x|>3$$, то

$$ F(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-9x, $$

тогда

$$ F'(x)=x^2-6x-9. $$

При $$|x|>3$$ имеем $$x^2-9>0$$, значит

$$ |x^2-9|=x^2-9, $$

и потому

$$ F'(x)=x^2-9-6x=|x^2-9|-6x=f(x). $$

Если $$|x|<3$$, то

$$ F(x)=-\frac{x^3}{3}-3x^2+9x-36, $$

тогда

$$ F'(x)=-x^2-6x+9. $$

При $$|x|<3$$ имеем $$x^2-9<0$$, значит

$$ |x^2-9|=-(x^2-9)=-x^2+9, $$

и поэтому

$$ F'(x)=-x^2+9-6x=|x^2-9|-6x=f(x). $$

Следовательно, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.

Ответ

а) $$F'(x)=f(x)$$; б) $$F'(x)=f(x)$$, значит в обоих пунктах $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.