Упр.20.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.47. а) интеграл dx/sin2 x cos2 x; 6) интеграл cos 2x dx/sin2 x cos2 x.

Подробный ответ

а) Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ тогда

$$ \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x} = \int \frac{4\,dx}{\sin^2 2x} = 4\int \csc^2 2x\,dx. $$

Так как $$\int \csc^2 u\,du=-\ctg u + C,$$ то при $$u=2x$$ получаем

$$ 4\int \csc^2 2x\,dx = 4\cdot \left(-\frac{1}{2}\ctg 2x\right)+C = -2\ctg 2x + C. $$

б) Преобразуем числитель:

$$ \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x. $$

Тогда

$$ \int \frac{\cos 2x\,dx}{\sin^2 x\cos^2 x} = \int \frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}\,dx = \int \left(\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{\cos^2 x}\right)dx. $$

Интегрируем по частям суммы:

$$ \int \frac{dx}{\sin^2 x}-\int \frac{dx}{\cos^2 x} = -\ctg x-\tg x + C. $$

Используем тождество

$$ \ctg x+\tg x=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\sin x\cos x} =\frac{1}{\sin x\cos x} =\frac{2}{\sin 2x}. $$

Значит,

$$ -\ctg x-\tg x + C=-\frac{2}{\sin 2x}+C. $$