Упр.20.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.46. а) интеграл sin2 x dx; в) интеграл cos2 xdx; б) интеграл sin 4 xdx; r) интеграл cos4 xdx.

Используем формулы понижения степени:

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

1. $$\int \sin^2 x\,dx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\frac12\int 1\,dx-\frac12\int \cos 2x\,dx.$$

   $$\int \sin^2 x\,dx=\frac12x-\frac12\cdot\frac{\sin 2x}{2}+C=\frac12x-\frac14\sin 2x+C.$$

2. $$\int \sin^4 x\,dx=\int \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2dx=\frac14\int (1-2\cos 2x+\cos^2 2x)\,dx.$$

   $$\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2},$$

   поэтому

   $$\int \sin^4 x\,dx=\frac14\int \left(1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}\right)dx$$

   $$=\int \left(\frac38-\frac12\cos 2x+\frac18\cos 4x\right)dx.$$

   Тогда

   $$\int \sin^4 x\,dx=\frac38x-\frac12\cdot\frac{\sin 2x}{2}+\frac18\cdot\frac{\sin 4x}{4}+C$$

   $$=\frac38x-\frac14\sin 2x+\frac1{32}\sin 4x+C.$$

3. $$\int \cos^2 x\,dx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx=\frac12\int 1\,dx+\frac12\int \cos 2x\,dx.$$

   $$\int \cos^2 x\,dx=\frac12x+\frac12\cdot\frac{\sin 2x}{2}+C=\frac12x+\frac14\sin 2x+C.$$

4. $$\int \cos^4 x\,dx=\int \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2dx=\frac14\int (1+2\cos 2x+\cos^2 2x)\,dx.$$

   Подставим $$\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$$:

   $$\int \cos^4 x\,dx=\frac14\int \left(1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}\right)dx$$

   $$=\int \left(\frac38+\frac12\cos 2x+\frac18\cos 4x\right)dx.$$

   Следовательно,

   $$\int \cos^4 x\,dx=\frac38x+\frac12\cdot\frac{\sin 2x}{2}+\frac18\cdot\frac{\sin 4x}{4}+C$$

   $$=\frac38x+\frac14\sin 2x+\frac1{32}\sin 4x+C.$$

Ответ

а) $$\frac12x-\frac14\sin 2x+C$$; б) $$\frac38x-\frac14\sin 2x+\frac1{32}\sin 4x+C$$; в) $$\frac12x+\frac14\sin 2x+C$$; г) $$\frac38x+\frac14\sin 2x+\frac1{32}\sin 4x+C$$.