Упр.20.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.45. а) интеграл sin 2x sin 6xdx; в) интеграл cos 3x cos 5xdx; б) интеграл sin 4x cos 3 xdx; г) интеграл sin 2x cos 8x dx.

Используем формулы произведения тригонометрических функций:

$$\sin \alpha \sin \beta=\frac12(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$$

$$\sin \alpha \cos \beta=\frac12(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta))$$

$$\cos \alpha \cos \beta=\frac12(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$$

1. $$\int \sin 2x\sin 6x\,dx=\frac12\int(\cos 4x-\cos 8x)\,dx$$

   $$=\frac12\left(\frac14\sin 4x-\frac18\sin 8x\right)+C=\frac18\sin 4x-\frac1{16}\sin 8x+C$$

2. $$\int \sin 4x\cos 3x\,dx=\frac12\int(\sin x+\sin 7x)\,dx$$

   $$=\frac12\left(-\cos x-\frac17\cos 7x\right)+C=-\frac12\cos x-\frac1{14}\cos 7x+C$$

3. $$\int \cos 3x\cos 5x\,dx=\frac12\int(\cos 2x+\cos 8x)\,dx$$

   $$=\frac12\left(\frac12\sin 2x+\frac18\sin 8x\right)+C=\frac14\sin 2x+\frac1{16}\sin 8x+C$$

4. $$\int \sin 2x\cos 8x\,dx=\frac12\int(\sin(-6x)+\sin 10x)\,dx$$

   $$=\frac12\int(-\sin 6x+\sin 10x)\,dx$$

   $$=\frac12\left(\frac16\cos 6x-\frac1{10}\cos 10x\right)+C=\frac1{12}\cos 6x-\frac1{20}\cos 10x+C$$

Ответ

а) $$\frac18\sin 4x-\frac1{16}\sin 8x+C$$; б) $$-\frac12\cos x-\frac1{14}\cos 7x+C$$; в) $$\frac14\sin 2x+\frac1{16}\sin 8x+C$$; г) $$\frac1{12}\cos 6x-\frac1{20}\cos 10x+C$$.