Упр.20.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.42 Найдите неопределенный интеграл: а)интеграл (1/2 корень x + 2ex — 3/x)dx; в)интеграл 3×2/3 — 4/корень 4 степени x + x5)dx; б)интеграл (1/x2 + x2+3)dx; г)интеграл (5x-1/x2 + x5)dx.

Подробный ответ

а) Преобразуем подынтегральное выражение:
$$\int\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+2e^x-\frac{3}{x}\right)\,dx=\int\left(\frac12 x^{-1/2}+2e^x-3x^{-1}\right)\,dx.$$
Интегрируем по частям:
$$\int \frac12 x^{-1/2}\,dx=\sqrt{x}, \qquad \int 2e^x\,dx=2e^x, \qquad \int -3x^{-1}\,dx=-3\ln|x|.$$
Тогда
$$\int\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+2e^x-\frac{3}{x}\right)\,dx=\sqrt{x}+2e^x-3\ln|x|+C.$$
б)
$$\int\left(\frac{1}{x^2}+x^2+3\right)\,dx=\int\left(x^{-2}+x^2+3\right)\,dx.$$
Интегрируем:
$$\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\frac1x,\qquad \int x^2\,dx=\frac{x^3}{3},\qquad \int 3\,dx=3x.$$
Следовательно,
$$\int\left(\frac{1}{x^2}+x^2+3\right)\,dx=-\frac1x+\frac{x^3}{3}+3x+C.$$
в)
$$\int\left(3x^{2/3}-\frac{4}{\sqrt[4]{x}}+x^5\right)\,dx=\int\left(3x^{2/3}-4x^{-1/4}+x^5\right)\,dx.$$
Интегрируем по формуле $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$:
$$\int 3x^{2/3}\,dx=3\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3}=\frac95x^{5/3},$$
$$\int -4x^{-1/4}\,dx=-4\cdot\frac{x^{3/4}}{3/4}=-\frac{16}{3}x^{3/4},$$
$$\int x^5\,dx=\frac{x^6}{6}.$$
Итак,
$$\int\left(3x^{2/3}-\frac{4}{\sqrt[4]{x}}+x^5\right)\,dx=\frac95x^{5/3}-\frac{16}{3}x^{3/4}+\frac{x^6}{6}+C.$$
г)
$$\int\left(5^x-\frac{1}{x^2}+x^5\right)\,dx=\int\left(5^x-x^{-2}+x^5\right)\,dx.$$
Используем формулы:
$$\int 5^x\,dx=\frac{5^x}{\ln 5},\qquad \int -x^{-2}\,dx=\frac1x,\qquad \int x^5\,dx=\frac{x^6}{6}.$$
Тогда
$$\int\left(5^x-\frac{1}{x^2}+x^5\right)\,dx=\frac{5^x}{\ln 5}+\frac1x+\frac{x^6}{6}+C.$$