Упр.20.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.41 Исследуйте функцию у = F(x) на монотонность и экстремумы, если известно, что она является первообразной для функции у = f(x): а) f(x) = 2×2 + 5х — 7; б) f(x) = корень(5x — 24) * lg(x2 — 6х + 6); в) f(x) = 2(x2 — корень x + 1); г) f(x) = (x2 — 5x — 14) log2 (5 — 2х).
а) $$f(x)=2x^2+5x-7.$$
Найдём нули функции:
$$2x^2+5x-7=0,$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=25+56=81,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{4}, \quad x_1=-\frac{7}{2}, \quad x_2=1.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$f(x)\ge 0 \text{ при } x\in\left(-\infty;-\frac{7}{2}\right]\cup[1;+\infty),$$
$$f(x)\le 0 \text{ при } x\in\left[-\frac{7}{2};1\right].$$
Значит, первообразная $$F(x)$$ возрастает на $$\left(-\infty;-\frac{7}{2}\right]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$\left[-\frac{7}{2};1\right].$$
В точке $$x=-\frac{7}{2}$$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. В точке $$x=1$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.
б) $$f(x)=\sqrt{5x-24}\cdot \lg(x^2-6x+6).$$
Для области определения нужно:
$$5x-24\ge 0,$$
$$x^2-6x+6>0.$$
Из первого неравенства получаем
$$x\ge \frac{24}{5}=4{,}8.$$
Решим второе:
$$x^2-6x+6=0,$$
$$D=36-24=12,$$
$$x_{1,2}=3\pm \sqrt{3}.$$
Тогда
$$x^2-6x+6>0 \text{ при } x<3-\sqrt{3} \text{ или } x>3+\sqrt{3}.$$
С учётом условия $$x\ge 4{,}8$$ получаем область определения:
$$D(F)=[4{,}8;+\infty).$$
На этой области $$\sqrt{5x-24}\ge 0$$ и $$\lg(x^2-6x+6)\ge 0$$, поэтому
$$f(x)\ge 0.$$
Следовательно, первообразная $$F(x)$$ возрастает на $$[4{,}8;+\infty).$$
Точек экстремума нет.
в) $$f(x)=2^{x^2-\sqrt{x}+1}.$$
Область определения задаётся условием
$$x\ge 0.$$
Так как основание степени больше 1, то
$$2^{x^2-\sqrt{x}+1}>0 \text{ при } x\ge 0.$$
Значит, первообразная $$F(x)$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$
Точек экстремума нет.
г) $$f(x)=(x^2-5x-14)\log_2(5-2x).$$
Для области определения нужно:
$$5-2x>0,$$
$$x<\frac{5}{2}=2{,}5.$$
Найдём нули множителей:
$$x^2-5x-14=0,$$
$$D=25+56=81,$$
$$x_1=-2,\quad x_2=7.$$
$$\log_2(5-2x)=0 \iff 5-2x=1 \iff x=2.$$
С учётом области определения $$x<2{,}5$$ получаем точки разбиения: $$-2$$ и $$2.$$
Проверка знаков даёт:
$$f(x)>0 \text{ на } (-\infty;-2)\cup(2;2{,}5),$$
$$f(x)<0 \text{ на } (-2;2).$$
Следовательно, первообразная $$F(x)$$ возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;2{,}5),$$ убывает на $$[-2;2].$$
В точке $$x=-2$$ — точка максимума, в точке $$x=2$$ — точка минимума.
Ответ
а) $$F(x)$$ возрастает на $$\left(-\infty;-\frac{7}{2}\right]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$\left[-\frac{7}{2};1\right];$$ $$x=-\frac{7}{2}$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
б) $$F(x)$$ возрастает на $$[4{,}8;+\infty);$$ экстремумов нет.
в) $$F(x)$$ возрастает на $$[0;+\infty);$$ экстремумов нет.
г) $$F(x)$$ возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;2{,}5),$$ убывает на $$[-2;2];$$ $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
