Упр.20.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.40 Сравните числа F(a) и F(b), если известно, что у = F(x) — первообразная для функции у = f(x): a) f(x) = х2lnх, а = 2, b= 3; б) f(x) =(x2-6x+8)/(x3-27),a = 0, b = 1; в) f(x) = sin3x, а = 7 Пи/6, b = —4 Пи/3; г) f(x) =корень 5 степени(х3 + 2×2 — 5х — 6), а = lg1001, b = log2(7).

Подробный ответ

а) $$f(x)=x^2\ln x,\quad a=2,\quad b=3.$$
При $$x>1$$ имеем $$x^2>0$$ и $$\ln x>0,$$ значит $$f(x)>0.$$ Следовательно, первообразная $$F(x)$$ возрастает на $$\left(1;+\infty\right).$$
Так как $$2<3,$$ то $$F(2)<F(3).$$
б) $$f(x)=\frac{x^2-6x+8}{x^3-27},\quad a=0,\quad b=1.$$
Разложим на множители:
$$ x^2-6x+8=(x-2)(x-4),\qquad x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9). $$
Так как $$x^2+3x+9>0$$ при всех $$x,$$ знак $$f(x)$$ определяется выражением
$$ \frac{(x-2)(x-4)}{x-3}. $$
На промежутке $$(-\infty,2)$$ функция $$f(x)<0,$$ значит $$F(x)$$ убывает. Поэтому при $$0<1$$ получаем
$$F(0)>F(1).$$
в) $$f(x)=\sin^3 x,\quad a=\frac{7\pi}{6},\quad b=\frac{4\pi}{3}.$$
Оба числа лежат в третьей четверти, где $$\sin x<0,$$ значит $$\sin^3 x<0.$$ Следовательно, $$F(x)$$ убывает на этом промежутке.
Так как $$\frac{7\pi}{6}<\frac{4\pi}{3},$$ то
$$F\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)>F\!\left(\frac{4\pi}{3}\right).$$
г) $$f(x)=\sqrt[5]{x^3+2x^2-5x-6},\quad a=\lg 1001,\quad b=\log_2 7.$$
Разложим многочлен под корнем:
$$ x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2). $$
Так как корень пятой степени сохраняет знак, то знак $$f(x)$$ совпадает со знаком произведения $$ (x+1)(x+3)(x-2). $$
При $$x>2$$ имеем $$f(x)>0,$$ значит $$F(x)$$ возрастает на этом промежутке.
Оценим числа:
$$ a=\lg 1001>\lg 1000=3, $$
$$ b=\log_2 7<\log_2 8=3. $$
Следовательно, $$a>b,$$ а так как $$F(x)$$ возрастает при $$x>2,$$ то
$$F(a)>F(b).$$