Упр.20.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Докажите,что функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x): 20.4 а)F(x)=cos(4x-Пи/9) + 26, f(x) = -4sin(4x-Пи/9); б)F(x)=sin3x — 3, f(x)=3sin2(x)cosx; в)F(x) = корень (x2 + 3x) — 6x, f(x)=(2x+3)/(2 корень(x2+3x)) + 6/x2; г)F(x)= корень (5×4 + 9×2) + корень x, f(x) = (10×3+9x)/(корень (5×4+9×2)) + 1/2 корень x.
Найдём производную функции $$F(x)=\cos\left(4x-\frac{\pi}{9}\right)+26$$:
$$ F'(x)=-\sin\left(4x-\frac{\pi}{9}\right)\cdot 4=-4\sin\left(4x-\frac{\pi}{9}\right)=f(x). $$
Для функции $$F(x)=\sin^3 x-3$$ имеем:
$$ F'(x)=3\sin^2 x\cdot \cos x=f(x). $$
Для функции $$F(x)=\sqrt{x^2+3x}-\frac{6}{x}$$:
$$ F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+3x}}\cdot (2x+3)-6\left(-\frac{1}{x^2}\right) $$
$$ F'(x)=\frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x}}+\frac{6}{x^2}=f(x). $$
Для функции $$F(x)=\sqrt{5x^4+9x^2}+\sqrt{x}$$:
$$ F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{5x^4+9x^2}}\cdot (20x^3+18x)+\frac{1}{2\sqrt{x}} $$
$$ F'(x)=\frac{10x^3+9x}{\sqrt{5x^4+9x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=f(x). $$
Во всех пунктах получаем $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$.
Ответ
а) да; б) да; в) да; г) да.
