Упр.20.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.38 Ускорение движения точки по координатной прямой задается формулой a(t) = 2(t + 1)2. Найдите закон изменения скорости движения и закон движения, если v(0) = 1,s(0) = 1.

Так как $$a(t)=v'(t),$$ то найдём скорость интегрированием:

$$ v(t)=\int 2(t+1)^2\,dt=\frac{2}{3}(t+1)^3+C. $$

Используем условие $$v(0)=1$$:

$$ 1=\frac{2}{3}(0+1)^3+C=\frac{2}{3}+C, $$

откуда

$$ C=\frac{1}{3}. $$

Значит, закон изменения скорости:

$$ v(t)=\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3}. $$

Теперь найдём закон движения, учитывая, что $$s'(t)=v(t)$$:

$$ s(t)=\int \left(\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3}\right)dt =\frac{1}{6}(t+1)^4+\frac{t}{3}+C. $$

Используем условие $$s(0)=1$$:

$$ 1=\frac{1}{6}(0+1)^4+\frac{0}{3}+C=\frac{1}{6}+C, $$

откуда

$$ C=\frac{5}{6}. $$

Следовательно, закон движения:

$$ s(t)=\frac{1}{6}(t+1)^4+\frac{t}{3}+\frac{5}{6}. $$

Ответ

$$ v(t)=\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3},\qquad s(t)=\frac{1}{6}(t+1)^4+\frac{t}{3}+\frac{5}{6}. $$