Упр.20.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.33. Найдите ту первообразную для заданной функции у = f(х), график которой касается заданной прямой у = kx + m: а) f(х) = 2х, у = х + 2;б) f(х) = 3х3, у = 3х + 5.

а) Найдём первообразную для функции $$f(x)=2x$$:

$$F(x)=\int 2x\,dx=x^2+C.$$

Так как график $$F(x)$$ касается прямой $$y=x+2,$$ то в точке касания их угловые коэффициенты равны:

$$F'(x)=2x=1,$$

откуда

$$x=\frac12.$$

Подставим это значение в уравнение прямой и в формулу для $$F(x)$$:

$$F\!\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^2+C=\frac12+2.$$

$$\frac14+C=\frac52,$$

$$C=\frac94.$$

Значит,

$$F(x)=x^2+\frac94.$$

б) Найдём первообразную для функции $$f(x)=3x^3$$:

$$F(x)=\int 3x^3\,dx=\frac34x^4+C.$$

В точке касания угловые коэффициенты равны:

$$F'(x)=3x^3=3,$$

откуда

$$x=1.$$

Подставим в уравнение прямой $$y=3x+5$$:

$$F(1)=\frac34\cdot 1^4+C=3\cdot 1+5,$$

$$\frac34+C=8,$$

$$C=\frac{29}{4}.$$

Следовательно,

$$F(x)=\frac34x^4+\frac{29}{4}.$$

Ответ

а) $$F(x)=x^2+\frac94$$; б) $$F(x)=\frac34x^4+\frac{29}{4}$$.