Упр.20.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.32. Найдите ту первообразную для заданной функции у =f(х), график которой касается оси х: a) f(x) = 2x + 3;б) f(x) = 12(3x — 1)3.

Подробный ответ

а) Найдём первообразную для функции $$f(x)=2x+3$$:

$$F(x)=\int (2x+3)\,dx=x^2+3x+C.$$

Так как график первообразной касается оси $$x$$, то уравнение $$F(x)=0$$ должно иметь единственный корень, то есть дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot C=9-4C=0.$$

Отсюда

$$C=\frac{9}{4}.$$

Тогда

$$F(x)=x^2+3x+\frac{9}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2.$$

б) Найдём первообразную для функции $$f(x)=12(3x-1)^3$$:

$$F(x)=\int 12(3x-1)^3\,dx=(3x-1)^4+C.$$

Чтобы график касался оси $$x$$, нужно, чтобы уравнение $$F(x)=0$$ имело единственный корень. Так как $$ (3x-1)^4\ge 0 $$ при любых $$x$$, это возможно только при $$C=0$$.

Следовательно,

$$F(x)=(3x-1)^4.$$