Упр.20.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.30. Найдите ту первообразную для функции у = f(x), областью значений которой является луч (- бесконечность; 4]: a) f(x) = 7 — 6x;б) f(x) = 3 — 2x.

а) $$f(x)=7-6x$$

Найдём первообразную:

$$F(x)=\int (7-6x)\,dx=7x-3x^2+C.$$

Так как область значений первообразной — луч $$(-\infty;4],$$ то парабола $$F(x)=-3x^2+7x+C$$ ветвями направлена вниз, а её наибольшее значение равно $$4.$$

Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{7}{2\cdot(-3)}=\frac{7}{6}.$$

Подставим в функцию:

$$F\!\left(\frac{7}{6}\right)=7\cdot\frac{7}{6}-3\left(\frac{7}{6}\right)^2+C=4.$$

$$\frac{49}{6}-3\cdot\frac{49}{36}+C=4,$$

$$\frac{49}{6}-\frac{147}{36}+C=4,$$

$$\frac{147}{36}+C=4,$$

$$C=4-\frac{147}{36}=-\frac{1}{12}.$$

Значит,

$$F(x)=7x-3x^2-\frac{1}{12}.$$

б) $$f(x)=3-2x$$

Найдём первообразную:

$$F(x)=\int (3-2x)\,dx=3x-x^2+C.$$

Это парабола $$F(x)=-x^2+3x+C,$$ её наибольшее значение равно $$4.$$

Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=\frac{3}{2}.$$

Подставим в функцию:

$$F\!\left(\frac{3}{2}\right)=3\cdot\frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2+C=4.$$

$$\frac{9}{2}-\frac{9}{4}+C=4,$$

$$\frac{9}{4}+C=4,$$

$$C=4-\frac{9}{4}=\frac{7}{4}.$$

Следовательно,

$$F(x)=3x-x^2+\frac{7}{4}.$$

Ответ

а) $$F(x)=7x-3x^2-\frac{1}{12}$$; б) $$F(x)=3x-x^2+\frac{7}{4}$$.