Упр.20.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.3 а)F(x)=4 корень x + tgx, f(x)=2/корень x + 1/cos2(x); б)F(x)=3ctgx-корень x, f(x)=-3/sin2x — 1/2 корень x; в)F(x)=ln(2x-1) — 1/(2x-1), f(x)=4x/(2x-1)2; г)F(x)=5/3 корень 5 степени sin3x, f(x)=cosx/корень 5 степени sin2x.

1. а) $$F(x)=4\sqrt{x}+\tg x,$$ $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\cos^2 x}.$$

   Найдём производную:

   $$F'(x)=(4\sqrt{x})’+(\tg x)’=\frac{4}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\cos^2 x}=f(x).$$

2. б) $$F(x)=3\ctg x-\sqrt{x},$$ $$f(x)=-\frac{3}{\sin^2 x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   Тогда

   $$F'(x)=(3\ctg x)’- (\sqrt{x})’=-\frac{3}{\sin^2 x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=f(x).$$

3. в) $$F(x)=\ln(2x-1)-\frac{1}{2x-1},$$ $$f(x)=\frac{4x}{(2x-1)^2}.$$

   Найдём производную:

   $$ F'(x)=\left(\ln(2x-1)\right)’-\left(\frac{1}{2x-1}\right)’= \frac{2}{2x-1}+\frac{2}{(2x-1)^2}. $$

   $$ F'(x)=\frac{2(2x-1)+2}{(2x-1)^2}=\frac{4x}{(2x-1)^2}=f(x). $$

4. г) $$F(x)=\frac{5}{3}\sqrt[5]{\sin^3 x},$$ $$f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin^2 x}}.$$

   Представим функцию в виде степени:

   $$F(x)=\frac{5}{3}(\sin x)^{3/5}.$$

   Тогда

   $$ F'(x)=\frac{5}{3}\cdot \frac{3}{5}(\sin x)^{-2/5}\cdot \cos x =\frac{\cos x}{\sqrt[5]{\sin^2 x}}=f(x). $$

Ответ

Во всех пунктах $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция $$y=F(x)$$ является первообразной функции $$y=f(x)$$.