Упр.20.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.29. a) f(x) = 2sin2x, х0 = Пи/2 б) f(x) = 2 cos 0,5x, x0 = Пи/3.
а) $$f(x)=2\sin 2x,\quad x_0=\frac{\pi}{2}.$$
Найдём первообразную:
$$F(x)=\int 2\sin 2x\,dx=-\cos 2x+C.$$
Используем условие $$F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$:
$$-\cos \pi + C=0,$$
$$1+C=0,$$
$$C=-1.$$
Тогда
$$F(x)=-\cos 2x-1.$$
Решаем уравнение $$F(x)=0$$:
$$-\cos 2x-1=0,$$
$$\cos 2x=-1,$$
$$2x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$f(x)=2\cos 0{,}5x,\quad x_0=\frac{\pi}{3}.$$
Найдём первообразную:
$$F(x)=\int 2\cos 0{,}5x\,dx=4\sin 0{,}5x+C.$$
Используем условие $$F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$$:
$$4\sin\frac{\pi}{6}+C=0,$$
$$2+C=0,$$
$$C=-2.$$
Тогда
$$F(x)=4\sin 0{,}5x-2.$$
Решаем уравнение $$F(x)=0$$:
$$4\sin 0{,}5x-2=0,$$
$$\sin 0{,}5x=\frac12.$$
Отсюда
$$0{,}5x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 0{,}5x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Это можно записать в виде
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
