Упр.20.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.27. Для функции у = f(х) найдите первообразную у = F(x) которая принимает данное значение в указанной точке: а) f(x) = 12/(корень (3x-6))+1, F(5) = 4; б) f(x) = -3/(корень (5x+4) — 8, F(1) = -12.

а) $$f(x)=\frac{12}{\sqrt{3x-6}}+1=12(3x-6)^{-\frac12}+1.$$

Найдём первообразную:

$$ F(x)=12\cdot \frac{(3x-6)^{\frac12}}{3\cdot \frac12}+x+C =8\sqrt{3x-6}+x+C. $$

Используем условие $$F(5)=4$$:

$$ 4=8\sqrt{3\cdot 5-6}+5+C =8\sqrt9+5+C =24+5+C, $$
$$ C=-25. $$

Тогда

$$F(x)=8\sqrt{3x-6}+x-25.$$

б) $$f(x)=\frac{-3}{\sqrt{5x+4}}-8=-3(5x+4)^{-\frac12}-8.$$

Найдём первообразную:

$$ F(x)=-3\cdot \frac{(5x+4)^{\frac12}}{5\cdot \frac12}-8x+C =-\frac65\sqrt{5x+4}-8x+C. $$

Используем условие $$F(1)=-12$$:

$$ -12=-\frac65\sqrt{5\cdot 1+4}-8\cdot 1+C =-\frac65\cdot 3-8+C =-\frac{18}{5}-8+C, $$
$$ -12=-\frac{58}{5}+C, \qquad C=-\frac25. $$

Тогда

$$F(x)=-\frac65\sqrt{5x+4}-8x-\frac25.$$

Ответ

а) $$F(x)=8\sqrt{3x-6}+x-25;$$
б) $$F(x)=-\frac65\sqrt{5x+4}-8x-\frac25.$$