Упр.20.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.26 а)f(x)=-2sin(x/2)cos(x/2), F(-2Пи/3)=-15; б)f(x)=sinxcos3c, F(Пи/3)=5/12; в)f(x)=sin2(x/2)-cos2(x/2), F(Пи/2)=4,5; г)f(x)=4cos(x/2)cos(3x/2), F(Пи/4)=(корень 2)+1.
а) $$f(x)=-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=-\sin x.$$
Тогда первообразная имеет вид $$F(x)=\cos x+C.$$
Используем условие $$F\!\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-15$$:
$$ \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+C=-15 $$
$$ -\frac12+C=-15 $$
$$ C=-\frac{29}{2}. $$Значит, $$F(x)=\cos x-\frac{29}{2}.$$
б) $$f(x)=\sin x\cdot \cos 3x.$$
Преобразуем произведение в сумму:
$$ \sin x\cos 3x=\frac12\bigl(\sin 4x-\sin 2x\bigr). $$
Тогда
$$ F(x)=\int \frac12(\sin 4x-\sin 2x)\,dx =-\frac18\cos 4x+\frac14\cos 2x+C. $$
Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{5}{12}$$ получаем:
$$ -\frac18\cos\frac{4\pi}{3}+\frac14\cos\frac{2\pi}{3}+C=\frac{5}{12} $$
$$ -\frac18\left(-\frac12\right)+\frac14\left(-\frac12\right)+C=\frac{5}{12} $$
$$ \frac{1}{16}-\frac18+C=\frac{5}{12} $$
$$ C=\frac{23}{48}. $$Следовательно, $$F(x)=\frac14\cos 2x-\frac18\cos 4x+\frac{23}{48}.$$
в) $$f(x)=\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=-\cos x.$$
Тогда
$$ F(x)=\int (-\cos x)\,dx=-\sin x+C. $$
По условию $$F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=4{,}5$$:
$$ -\sin\frac{\pi}{2}+C=4{,}5 $$
$$ -1+C=4{,}5 $$
$$ C=5{,}5. $$Итак, $$F(x)=-\sin x+5{,}5.$$
г) $$f(x)=4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}.$$
Используем формулу произведения в сумму:
$$ 4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2} =2\left(\cos 2x+\cos x\right). $$
Тогда
$$ F(x)=\int 2(\cos 2x+\cos x)\,dx =\sin 2x+2\sin x+C. $$
Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2+1$$:
$$ \sin\frac{\pi}{2}+2\sin\frac{\pi}{4}+C=\sqrt2+1 $$
$$ 1+2\cdot\frac{\sqrt2}{2}+C=\sqrt2+1 $$
$$ 1+\sqrt2+C=\sqrt2+1 $$
$$ C=0. $$Следовательно, $$F(x)=\sin 2x+2\sin x.$$
Ответ
а) $$F(x)=\cos x-\frac{29}{2}$$;
б) $$F(x)=\frac14\cos 2x-\frac18\cos 4x+\frac{23}{48}$$;
в) $$F(x)=-\sin x+5{,}5$$;
г) $$F(x)=\sin 2x+2\sin x$$.
