Упр.20.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Для функции y=f(x) найдите первообразную y=F(x), которая принимает данное значение в указанной точке: 20.25 а)f(x)=x5+3×2, F(0)=-16; б)f(x)=14sinx, F(3Пи/2)=23; в)f(x)=10e(5x-4), F(0,8)=5; г)f(x)=1/(2-3x), F(1/3)=1.
$$f(x)=x^5+3x^2,\quad F(0)=-16.$$
Найдём первообразную:
$$F(x)=\frac{x^6}{6}+x^3+C.$$
Подставим условие $$F(0)=-16$$:
$$\frac{0^6}{6}+0^3+C=-16,$$
$$C=-16.$$
Значит,
$$F(x)=\frac{x^6}{6}+x^3-16.$$
$$f(x)=14\sin x,\quad F\left(\frac{3\pi}{2}\right)=23.$$
Первообразная:
$$F(x)=-14\cos x+C.$$
Подставим точку $$x=\frac{3\pi}{2}$$:
$$-14\cos\frac{3\pi}{2}+C=23,$$
$$-14\cdot 0+C=23,$$
$$C=23.$$
Следовательно,
$$F(x)=-14\cos x+23.$$
$$f(x)=10e^{5x-4},\quad F(0{,}8)=5.$$
Первообразная:
$$F(x)=10\cdot \frac{1}{5}e^{5x-4}+C=2e^{5x-4}+C.$$
Подставим $$x=0{,}8$$:
$$2e^{5\cdot 0{,}8-4}+C=5,$$
$$2e^0+C=5,$$
$$2+C=5,$$
$$C=3.$$
Итак,
$$F(x)=2e^{5x-4}+3.$$
$$f(x)=\frac{1}{2-3x},\quad F\left(\frac{1}{3}\right)=1.$$
Найдём первообразную:
$$F(x)=-\frac{1}{3}\ln(2-3x)+C.$$
Подставим $$x=\frac{1}{3}$$:
$$-\frac{1}{3}\ln\left(2-3\cdot \frac{1}{3}\right)+C=1,$$
$$-\frac{1}{3}\ln 1+C=1,$$
$$C=1.$$
Следовательно,
$$F(x)=-\frac{1}{3}\ln(2-3x)+1.$$
Ответ
а) $$F(x)=\frac{x^6}{6}+x^3-16$$; б) $$F(x)=-14\cos x+23$$; в) $$F(x)=2e^{5x-4}+3$$; г) $$F(x)=-\frac{1}{3}\ln(2-3x)+1$$.
