Упр.20.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.24. а)y=sin(x/6)cos(5x/6) + cos(x/6)sin(5x/6), M(3Пи/4;21); б)y=cos(x/5)cos(4x/5)-sin(x/5)sin(4x/5), M(5Пи/6;-9); в)y=sin(7x/6)cos(x/6)-sin(x/6)cos(7x/6), M(-3Пи/4;0); г)y=cos(13x/11)cos(2x/11)+sin(13x/11)sin(2x/11), M(2Пи/3;-6).

1. а) $$y=\sin\frac{x}{6}\cos\frac{5x}{6}+\cos\frac{x}{6}\sin\frac{5x}{6}=\sin\left(\frac{x}{6}+\frac{5x}{6}\right)=\sin x.$$

   Тогда первообразная имеет вид $$F(x)=-\cos x+C.$$

   Используем точку $$M\left(\frac{3\pi}{4};\,21\right):$$

   $$21=-\cos\frac{3\pi}{4}+C=\frac{\sqrt2}{2}+C,$$

   откуда $$C=21-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно, $$F(x)=-\cos x+21-\frac{\sqrt2}{2}.$$

2. б) $$y=\cos\frac{x}{5}\cos\frac{4x}{5}-\sin\frac{x}{5}\sin\frac{4x}{5}=\cos\left(\frac{x}{5}+\frac{4x}{5}\right)=\cos x.$$

   Тогда $$F(x)=\sin x+C.$$

   Из условия $$M\left(\frac{5\pi}{6};\,-9\right):$$

   $$-9=\sin\frac{5\pi}{6}+C=\frac12+C,$$

   значит, $$C=-\frac{19}{2}.$$

   Следовательно, $$F(x)=\sin x-\frac{19}{2}.$$

3. в) $$y=\sin\frac{7x}{6}\cos\frac{x}{6}-\sin\frac{x}{6}\cos\frac{7x}{6}=\sin\left(\frac{7x}{6}-\frac{x}{6}\right)=\sin x.$$

   Тогда $$F(x)=-\cos x+C.$$

   Из точки $$M\left(-\frac{3\pi}{4};\,0\right):$$

   $$0=-\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+C=\frac{\sqrt2}{2}+C,$$

   откуда $$C=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно, $$F(x)=-\cos x-\frac{\sqrt2}{2}.$$

4. г) $$y=\cos\frac{13x}{11}\cos\frac{2x}{11}+\sin\frac{13x}{11}\sin\frac{2x}{11}=\cos\left(\frac{13x}{11}-\frac{2x}{11}\right)=\cos x.$$

   Тогда $$F(x)=\sin x+C.$$

   Из точки $$M\left(\frac{2\pi}{3};\,-6\right):$$

   $$-6=\sin\frac{2\pi}{3}+C=\frac{\sqrt3}{2}+C,$$

   значит, $$C=-6-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Следовательно, $$F(x)=\sin x-6-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ответ

а) $$F(x)=-\cos x+21-\frac{\sqrt2}{2}$$; б) $$F(x)=\sin x-\frac{19}{2}$$; в) $$F(x)=-\cos x-\frac{\sqrt2}{2}$$; г) $$F(x)=\sin x-6-\frac{\sqrt3}{2}$$.