Упр.20.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.23. Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку M: а)y=1+tg2x, M(Пи/3;5); б)y=2+2сtg2x, M( Пи/4;-3); в)y=3+tg2x, M(-Пи/6;4); г)y=ctg2x-9, M(-Пи/3; -21).
а) $$y=1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.$$
Первообразная:
$$F(x)=\tg x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{3};5\right):$$
$$5=\tg \frac{\pi}{3}+C=\sqrt{3}+C,$$
$$C=5-\sqrt{3}.$$
Значит,
$$F(x)=\tg x+5-\sqrt{3}.$$
б) $$y=2+2\ctg^2 x=2\left(1+\ctg^2 x\right)=\frac{2}{\sin^2 x}.$$
Первообразная:
$$F(x)=-2\ctg x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{4};-3\right):$$
$$-3=-2\ctg \frac{\pi}{4}+C=-2+C,$$
$$C=-1.$$
Значит,
$$F(x)=-2\ctg x-1.$$
в) $$y=3+\tg^2 x=2+\frac{1}{\cos^2 x}.$$
Первообразная:
$$F(x)=2x+\tg x+C.$$
Подставим точку $$M\left(-\frac{\pi}{6};4\right):$$
$$4=2\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)+C,$$
$$4=-\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+C,$$
$$C=4+\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Значит,
$$F(x)=2x+\tg x+4+\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
г) $$y=\ctg^2 x-9=\frac{1}{\sin^2 x}-10.$$
Первообразная:
$$F(x)=-\ctg x-10x+C.$$
Подставим точку $$M\left(-\frac{\pi}{3};-21\right):$$
$$-21=-\ctg\left(-\frac{\pi}{3}\right)-10\left(-\frac{\pi}{3}\right)+C,$$
$$-21=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{10\pi}{3}+C,$$
$$C=-21+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{10\pi}{3}.$$
Значит,
$$F(x)=-\ctg x-10x-21+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{10\pi}{3}.$$
Ответ
а) $$F(x)=\tg x+5-\sqrt{3}$$; б) $$F(x)=-2\ctg x-1$$; в) $$F(x)=2x+\tg x+4+\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}$$; г) $$F(x)=-\ctg x-10x-21+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{10\pi}{3}$$.
