Упр.20.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.22 а)8sin(x/2)cos(x/2), M(Пи/2;3); б)y=2cos2(x/2) -1, M(Пи/2;16); в)y=cos2(x/2)-sin2(x/2), M(0;7); г)y=1-2sin2(x/2), M(Пи/2;15).

Подробный ответ

а) $$y=8\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=4\sin x.$$
Тогда первообразная имеет вид $$F(x)=-4\cos x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};3\right):$$
$$3=-4\cos\frac{\pi}{2}+C,$$
$$3=0+C,$$
$$C=3.$$
Следовательно, $$F(x)=-4\cos x+3.$$
б) $$y=2\cos^2\frac{x}{2}-1=2\cdot\frac{1+\cos x}{2}-1=\cos x.$$
Тогда $$F(x)=\sin x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};16\right):$$
$$16=\sin\frac{\pi}{2}+C,$$
$$16=1+C,$$
$$C=15.$$
Следовательно, $$F(x)=\sin x+15.$$
в) $$y=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x.$$
Тогда $$F(x)=\sin x+C.$$
Подставим точку $$M(0;7):$$
$$7=\sin 0+C,$$
$$7=0+C,$$
$$C=7.$$
Следовательно, $$F(x)=\sin x+7.$$
г) $$y=1-2\sin^2\frac{x}{2}=1-2\cdot\frac{1-\cos x}{2}=\cos x.$$
Тогда $$F(x)=\sin x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};15\right):$$
$$15=\sin\frac{\pi}{2}+C,$$
$$15=1+C,$$
$$C=14.$$
Следовательно, $$F(x)=\sin x+14.$$