Упр.20.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.21 а)y=sinx, M(пи/3;1/4); б)y=5/cos2(5x), M(Пи/4;-1); в)y=cosx, M(Пи/6;1); г)y=1/sin3(x/3), M(3Пи/4;0).
а) $$y=\sin x,\quad M\left(\frac{\pi}{3};\frac14\right).$$
Первообразная функции $$y=\sin x$$ имеет вид $$F(x)=-\cos x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{3};\frac14\right)$$:
$$ \frac14=-\cos\frac{\pi}{3}+C $$
$$ \frac14=-\frac12+C $$
$$ C=\frac34 $$Следовательно, $$F(x)=-\cos x+\frac34.$$
б) $$y=\frac{5}{\cos^2 5x},\quad M\left(\frac{\pi}{4};-1\right).$$
Так как $$\dfrac{d}{dx}\bigl(\tg 5x\bigr)=\dfrac{5}{\cos^2 5x},$$ то
$$F(x)=\tg 5x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{4};-1\right)$$:
$$ -1=\tg\frac{5\pi}{4}+C $$
$$ -1=1+C $$
$$ C=-2 $$Следовательно, $$F(x)=\tg 5x-2.$$
в) $$y=\cos x,\quad M\left(\frac{\pi}{6};1\right).$$
Первообразная функции $$y=\cos x$$ имеет вид $$F(x)=\sin x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{6};1\right)$$:
$$ 1=\sin\frac{\pi}{6}+C $$
$$ 1=\frac12+C $$
$$ C=\frac12 $$Следовательно, $$F(x)=\sin x+\frac12.$$
г) $$y=\frac{1}{\sin^2\frac{x}{3}},\quad M\left(\frac{3\pi}{4};0\right).$$
Так как $$\dfrac{d}{dx}\bigl(\ctg \frac{x}{3}\bigr)=-\frac{1}{3\sin^2\frac{x}{3}},$$ то
$$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{3\pi}{4};0\right)$$:
$$ 0=-3\ctg\frac{3\pi}{4\cdot 3}+C=-3\ctg\frac{\pi}{4}+C $$
$$ 0=-3\cdot 1+C $$
$$ C=3 $$Следовательно, $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+3.$$
Ответ
а) $$F(x)=-\cos x+\frac34$$; б) $$F(x)=\tg 5x-2$$; в) $$F(x)=\sin x+\frac12$$; г) $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+3$$.
