Упр.20.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.19 Найдите функцию y=f(x), удовлетворяющую заданному условию(дифференциальному уравнению): а)y’=13/x2 + x; б)y’=-9/x2 + sinx; в)y’=4/x2 — 4x; г)y’=-5/x2 -cosx.
Найдём функцию по заданной производной, то есть проинтегрируем правую часть.
а)
$$y’=\frac{13}{x^2}+x=13x^{-2}+x$$
$$y=\int \left(13x^{-2}+x\right)\,dx=13\int x^{-2}\,dx+\int x\,dx$$
$$y=13\cdot \frac{x^{-1}}{-1}+\frac{x^2}{2}+C=-\frac{13}{x}+\frac{x^2}{2}+C$$
б)
$$y’=-\frac{9}{x^2}+\sin x=-9x^{-2}+\sin x$$
$$y=\int \left(-9x^{-2}+\sin x\right)\,dx=-9\int x^{-2}\,dx+\int \sin x\,dx$$
$$y=-9\cdot \frac{x^{-1}}{-1}-\cos x+C=\frac{9}{x}-\cos x+C$$
в)
$$y’=\frac{4}{x^2}-4x=4x^{-2}-4x$$
$$y=\int \left(4x^{-2}-4x\right)\,dx=4\int x^{-2}\,dx-4\int x\,dx$$
$$y=4\cdot \frac{x^{-1}}{-1}-4\cdot \frac{x^2}{2}+C=-\frac{4}{x}-2x^2+C$$
г)
$$y’=-\frac{5}{x^2}-\cos x=-5x^{-2}-\cos x$$
$$y=\int \left(-5x^{-2}-\cos x\right)\,dx=-5\int x^{-2}\,dx-\int \cos x\,dx$$
$$y=-5\cdot \frac{x^{-1}}{-1}-\sin x+C=\frac{5}{x}-\sin x+C$$
Ответ
а) $$y=-\frac{13}{x}+\frac{x^2}{2}+C$$; б) $$y=\frac{9}{x}-\cos x+C$$; в) $$y=-\frac{4}{x}-2x^2+C$$; г) $$y=\frac{5}{x}-\sin x+C$$.
