Упр.20.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.17 а)f(x)=sinxcos6x+cossin6x; б)f(x)=sin2(5x); в)f(x)=cos6xcosx+sin6xsinx; г)f(x)=sin5xcosx.

1. а) $$f(x)=\sin x\cos 6x+\cos x\sin 6x=\sin( x+6x)=\sin 7x.$$

   Тогда первообразная:

   $$F(x)=\int \sin 7x\,dx=-\frac{1}{7}\cos 7x+C.$$

2. б) $$f(x)=\sin^2 5x=\frac{1-\cos 10x}{2}=\frac12-\frac12\cos 10x.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int \left(\frac12-\frac12\cos 10x\right)dx=\frac12x-\frac12\cdot\frac{1}{10}\sin 10x+C=\frac12x-\frac1{20}\sin 10x+C.$$

3. в) $$f(x)=\cos 6x\cos x+\sin 6x\sin x=\cos(6x-x)=\cos 5x.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\int \cos 5x\,dx=\frac15\sin 5x+C.$$

4. г) $$f(x)=\sin 5x\cos x=\frac12\bigl(\sin(5x-x)+\sin(5x+x)\bigr)=\frac12\sin 4x+\frac12\sin 6x.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int \left(\frac12\sin 4x+\frac12\sin 6x\right)dx=-\frac18\cos 4x-\frac1{12}\cos 6x+C.$$

Ответ

а) $$F(x)=-\frac17\cos 7x+C$$; б) $$F(x)=\frac12x-\frac1{20}\sin 10x+C$$; в) $$F(x)=\frac15\sin 5x+C$$; г) $$F(x)=-\frac18\cos 4x-\frac1{12}\cos 6x+C$$.