Упр.20.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.16 а)f(x)=sin2x+cos2x; в)f(x)=sinxcosx; б)f(x)=1+tg2x; г)f(x)=2+ctg2(2x).

1. а) $$f(x)=\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

   Тогда первообразная:

   $$F(x)=\int 1\,dx=x+C.$$

2. б) $$f(x)=1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

   Так как $$\left(\tg x\right)’=\frac{1}{\cos^2 x},$$ то

   $$F(x)=\tg x+C.$$

3. в) $$f(x)=\sin x\cos x=\frac12\sin 2x.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int \frac12\sin 2x\,dx=-\frac14\cos 2x+C.$$

4. г) $$f(x)=2+\ctg^2 2x=1+\frac{1}{\sin^2 2x}.$$

   Используем, что

   $$\left(\ctg 2x\right)’=-\frac{2}{\sin^2 2x}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int \left(1+\frac{1}{\sin^2 2x}\right)dx=x-\frac12\ctg 2x+C.$$

Ответ

а) $$F(x)=x+C$$; б) $$F(x)=\tg x+C$$; в) $$F(x)=-\frac14\cos 2x+C$$; г) $$F(x)=x-\frac12\ctg 2x+C$$.