Упр.20.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 20.12 а)f(x)=-3sinx+2cosx; б)f(x)=4/sin2x — 9/cos2x; в)f(x)=-4cosx+2/sin2x; г)f(x)=-13sin+5/cos2x.

1. Найдём первообразную для $$f(x)=-3\sin x+2\cos x.$$

   $$F(x)=\int(-3\sin x+2\cos x)\,dx=3\cos x+2\sin x+C.$$

2. Найдём первообразную для $$f(x)=\dfrac{4}{\sin^2 x}-\dfrac{9}{\cos^2 x}.$$

   Используем формулы $$\dfrac{1}{\sin^2 x}=\csc^2 x,\quad \dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x,$$
   а также
   $$\int \csc^2 x\,dx=-\ctg x,\qquad \int \sec^2 x\,dx=\tg x.$$

   Тогда
   $$F(x)=4(-\ctg x)-9\tg x+C=-4\ctg x-9\tg x+C.$$

3. Найдём первообразную для $$f(x)=-4\cos x+\dfrac{2}{\sin^2 x}.$$

   $$F(x)=\int\left(-4\cos x+\dfrac{2}{\sin^2 x}\right)dx=-4\sin x-2\ctg x+C.$$

4. Найдём первообразную для $$f(x)=-13\sin x+\dfrac{5}{\cos^2 x}.$$

   $$F(x)=\int\left(-13\sin x+\dfrac{5}{\cos^2 x}\right)dx=13\cos x+5\tg x+C.$$

Ответ

а) $$F(x)=3\cos x+2\sin x+C$$

б) $$F(x)=-4\ctg x-9\tg x+C$$

в) $$F(x)=-4\sin x-2\ctg x+C$$

г) $$F(x)=13\cos x+5\tg x+C$$