Упр.20.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Для функции y=f(x) найдите первообразную: 20.11 а)f(x)=x2+x16; б)f(x)=1/2 корень x -1/x2; в)f(x)=x13+x18; г)f(x)=4/корень 4 степени x — 2/x корень x.
Используем правило:
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1.$$
а) $$f(x)=x^2+x^{16}$$
$$F(x)=\int (x^2+x^{16})\,dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^{17}}{17}+C.$$
б) $$f(x)=\frac{1}{2\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{x^2}=\frac12 x^{-\frac13}-x^{-2}$$
$$F(x)=\int \left(\frac12 x^{-\frac13}-x^{-2}\right)\,dx$$
$$F(x)=\frac12\cdot \frac{x^{\frac23}}{\frac23}-\frac{x^{-1}}{-1}+C=\frac34 x^{\frac23}+\frac1x+C=\frac34\sqrt[3]{x^2}+\frac1x+C.$$
в) $$f(x)=x^{13}+x^{18}$$
$$F(x)=\int (x^{13}+x^{18})\,dx=\frac{x^{14}}{14}+\frac{x^{19}}{19}+C.$$
г) $$f(x)=\frac{4}{\sqrt[4]{x}}-\frac{2}{x\sqrt{x}}=4x^{-\frac14}-2x^{-\frac32}$$
$$F(x)=\int \left(4x^{-\frac14}-2x^{-\frac32}\right)\,dx$$
$$F(x)=4\cdot \frac{x^{\frac34}}{\frac34}-2\cdot \frac{x^{-\frac12}}{-\frac12}+C=\frac{16}{3}x^{\frac34}+4x^{-\frac12}+C=\frac{16}{3}\sqrt[4]{x^3}+\frac{4}{\sqrt{x}}+C.$$
Ответ
а) $$F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^{17}}{17}+C$$; б) $$F(x)=\frac34\sqrt[3]{x^2}+\frac1x+C$$; в) $$F(x)=\frac{x^{14}}{14}+\frac{x^{19}}{19}+C$$; г) $$F(x)=\frac{16}{3}\sqrt[4]{x^3}+\frac{4}{\sqrt{x}}+C$$.
