Упр.20.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Докажите, что функция у = F(x) является первообразной для функции у = f(x): 20.1. a) F(x) = х2 + х3 + Зsinx + 1, f(x) = 2х + 3х2 + Зсоsx; б) F(x) = x11 + х4 — 3 — 4cosx, f(x) = 11×10 + 4×3 + 4sinx; в) F(x) = 7 корень 7 степени x+2/корень, f(x) = ((корень 14 степени x9)-1)/x корень x; г) F(x) = е(x2-3x), f(x) = (2x — 3)e(x2-3x).

1. Найдём производную функции $$F(x)=x^2+x^3+3\sin x+1$$:

   $$F'(x)=(x^2)’ + (x^3)’ + (3\sin x)’ + (1)’ = 2x+3x^2+3\cos x.$$

   Получили $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.

2. Для функции $$F(x)=x^{11}+x^4-3-4\cos x$$ имеем:

   $$F'(x)=(x^{11})’ + (x^4)’ — (3)’ — (4\cos x)’ = 11x^{10}+4x^3+4\sin x.$$

   Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$.

3. Пусть $$F(x)=7\sqrt[7]{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}=7x^{1/7}+2x^{-1/2}.$$ Тогда

   $$F'(x)=7\cdot \frac{1}{7}x^{-6/7}+2\cdot\left(-\frac12\right)x^{-3/2}=x^{-6/7}-x^{-3/2}.$$

   Приведём к общему виду:

   $$x^{-6/7}-x^{-3/2}=\frac{1}{\sqrt[7]{x^6}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{\sqrt[14]{x^9}-1}{x\sqrt{x}}=f(x).$$

   Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.

4. Для $$F(x)=e^{x^2-3x}$$ по правилу производной сложной функции получаем:

   $$F'(x)=e^{x^2-3x}\cdot (x^2-3x)’=e^{x^2-3x}(2x-3).$$

   То есть $$F'(x)=f(x)$$.

Ответ

Во всех пунктах $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$.