Упр.2.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.8. Докажите, что многочлен: а) х7 — Зх3у4 + бху6 -4у7 делится без остатка на многочлен х — у; б) х13 + 7х10у3 — 11 х3у10 — 17у13 делится без остатка на многочлен х + у.

Используем признак делимости многочлена на двучлен: многочлен делится на $$x-a$$ без остатка тогда и только тогда, когда $$a$$ является его корнем.

1. Рассмотрим многочлен

   $$p(x,y)=x^7-3x^3y^4+6xy^6-4y^7.$$

   Подставим $$x=y$$:

   $$ p(y,y)=y^7-3y^3\cdot y^4+6y\cdot y^6-4y^7 =y^7-3y^7+6y^7-4y^7=0. $$

   Значит, $$x-y$$ является делителем данного многочлена.

2. Рассмотрим многочлен

   $$p(x,y)=x^{13}+7x^{10}y^3-11x^3y^{10}-17y^{13}.$$

   Подставим $$x=-y$$:

   $$ p(-y,y)=(-y)^{13}+7(-y)^{10}y^3-11(-y)^3y^{10}-17y^{13} =-y^{13}+7y^{13}+11y^{13}-17y^{13}=0. $$

   Следовательно, $$x+y$$ является делителем данного многочлена.

Ответ

а) делится на $$x-y$$; б) делится на $$x+y$$.