Упр.2.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.6. а) Докажите, что многочлен (у2 — z2)x + (z2 — х2)у + + (х2 — У2)z не обращается в нуль ни при каких попарно различных значениях переменных х, у, z.б) Многочлен х3 + рх + q обращается в нуль при х = а, при х = B и при х = у. Докажите, что а + B + у = 0.

Подробный ответ

а) Преобразуем многочлен:

$$ (y^2-z^2)x+(z^2-x^2)y+(x^2-y^2)z $$

$$ =xy^2-xz^2+yz^2-yx^2+zx^2-zy^2+xyz-xyz $$

$$ =xy(y-z)+xz(z-y)+yz(x-z) $$

Удобнее сгруппировать так:

$$ (y^2-z^2)x+(z^2-x^2)y+(x^2-y^2)z $$

$$ = x(y-z)(y+z)+y(z-x)(z+x)+z(x-y)(x+y) $$

После приведения получаем разложение:

$$ (y^2-z^2)x+(z^2-x^2)y+(x^2-y^2)z=(x-y)(y-z)(z-x). $$

Так как числа $x$, $y$, $z$ попарно различны, то каждый из множителей $x-y$, $y-z$, $z-x$ не равен нулю. Значит, и весь многочлен не обращается в нуль.

б) Так как многочлен $$x^3+px+q$$ обращается в нуль при $$x=\alpha,\; x=\beta,\; x=\gamma,$$ то числа $$\alpha,\beta,\gamma$$ — его корни. Следовательно,

$$ x^3+px+q=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma). $$

Раскроем скобки:

$$ (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)x-\alpha\beta\gamma. $$

Сравнивая с многочленом $$x^3+px+q,$$ получаем, что коэффициент при $$x^2$$ равен нулю:

$$ -(\alpha+\beta+\gamma)=0. $$

Отсюда

$$ \alpha+\beta+\gamma=0. $$