Упр.2.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.5. а) (х + y + z)3 — х3 — у3 — z3; б) (х + у + z)(xy + yz + zx) — xyz; в) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 — 4xyz; r) (x + у + z)4 — (у + z)4 — (z + x)4 — (x + y)4 + x4 + y4 + z4.

Подробный ответ

$$ (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 $$
Используем формулу
$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). $$
Тогда
$$ (x+y+z)^3-x^3=(y+z)\bigl((x+y+z)^2+x(x+y+z)+x^2\bigr), $$
а затем после вычитания $$y^3+z^3$$ получаем
$$ (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(x+z)(y+z). $$
$$ (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz $$
Раскроем скобки:
$$ (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz =x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2+2xyz. $$
Сгруппируем:
$$ =x(y+z)^2+x^2(y+z)+yz(y+z) =(y+z)(x+y)(x+z). $$
$$ x(y+z)^2+y(z+x)^2+z(x+y)^2-4xyz $$
Раскроем скобки:
$$ =x(y^2+2yz+z^2)+y(z^2+2zx+x^2)+z(x^2+2xy+y^2)-4xyz. $$
После приведения подобных членов:
$$ =x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+xy(y+z)+yz(z+x)+zx(x+y). $$
Это выражение раскладывается так:
$$ =(y+z)(x+y)(x+z). $$
$$ (x+y+z)^4-(y+z)^4-(z+x)^4-(x+y)^4+x^4+y^4+z^4 $$
По формуле бинома Ньютона:
$$ (x+y+z)^4=x^4+y^4+z^4+4x^3(y+z)+4y^3(x+z)+4z^3(x+y) $$
$$ \quad+6x^2(y+z)^2+6y^2(x+z)^2+6z^2(x+y)^2 +12xyz(x+y+z). $$
После вычитания остальных четвёртых степеней остаётся
$$ 12xyz(x+y+z). $$