Упр.2.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.4. а) (х7 + х) — (у7 + у); в) (х5 — х) — (у5 — у); б) х4 + 4y4; г) 16х4 + y4.

1. а) Группируем слагаемые:

   $$ (x^7+x)-(y^7+y)=(x^7-y^7)+(x-y) $$

   Выносим общий множитель $$x-y$$:

   $$ x^7-y^7=(x-y)(x^6+x^5y+x^4y^2+x^3y^3+x^2y^4+xy^5+y^6) $$

   Тогда

   $$ (x^7+x)-(y^7+y)=(x-y)(x^6+x^5y+x^4y^2+x^3y^3+x^2y^4+xy^5+y^6+1) $$

2. б) Представим выражение как разность квадратов:

   $$ x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2 $$

   Тогда

   $$ x^4+4y^4=(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy) $$

3. в) Аналогично:

   $$ (x^5-x)-(y^5-y)=(x^5-y^5)-(x-y) $$

   Разложим разность степеней:

   $$ x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4) $$

   Тогда

   $$ (x^5-x)-(y^5-y)=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4-1) $$

4. г) Преобразуем к разности квадратов:

   $$ 16x^4+y^4=(4x^2+y^2)^2-(2\sqrt{2}xy)^2 $$

   Следовательно,

   $$ 16x^4+y^4=(4x^2+y^2-2\sqrt{2}xy)(4x^2+y^2+2\sqrt{2}xy) $$

Ответ

а) $$ (x-y)(x^6+x^5y+x^4y^2+x^3y^3+x^2y^4+xy^5+y^6+1) $$;

б) $$ (x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy) $$;

в) $$ (x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4-1) $$;

г) $$ (4x^2+y^2-2\sqrt{2}xy)(4x^2+y^2+2\sqrt{2}xy) $$.