Упр.2.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.43. Докажите, что многочлен принимает положительные значения при любых действительных значениях переменных: а) Зх2 — 11 ху + 47у2 + 2; б) (2х + 3y + 5)2 + (х + 2у + З)2 + (Зх — 7у + 1)4; в) Зх2 — 2ху + у2 — 6х — 2у + 11; г) х2 + у2 + z2 + 2ху + 2yz + 2zx + 3.
а) Преобразуем многочлен к сумме квадратов:
$$3x^2-11xy+47y^2+2=3\left(x^2-\frac{11}{3}xy\right)+47y^2+2.$$
Дополняем до квадрата:
$$3x^2-11xy+47y^2+2=3\left(x-\frac{11}{6}y\right)^2+\frac{443}{12}y^2+2.$$
Так как $$3\left(x-\frac{11}{6}y\right)^2\ge 0$$ и $$\frac{443}{12}y^2\ge 0$$, то
$$3x^2-11xy+47y^2+2\ge 2>0.$$
б) Каждый из слагаемых неотрицателен:
$$\left(2x+3y+5\right)^2+\left(x+2y+3\right)^2+\left(3x-7y+1\right)^4\ge 0.$$
Равенство возможно только при одновременном выполнении системы:
$$ \begin{cases} 2x+3y+5=0,\\ x+2y+3=0,\\ 3x-7y+1=0. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$x=-2y-3$$. Подставим в первое:
$$2(-2y-3)+3y+5=0,$$
$$-4y-6+3y+5=0,$$
$$y=-1,\quad x=-2(-1)-3=-1.$$
Проверим третье уравнение:
$$3(-1)-7(-1)+1=5\ne 0.$$
Значит, одновременно все три выражения в нуль не обращаются, поэтому
$$\left(2x+3y+5\right)^2+\left(x+2y+3\right)^2+\left(3x-7y+1\right)^4>0.$$
в) Преобразуем выражение:
$$3x^2-2xy+y^2-6x-2y+11$$
$$=\frac12\left(6x^2-4xy+2y^2-12x-4y+22\right)$$
$$=\frac12\left((4x^2-4xy+y^2)+(y^2-4y+4)+2(x^2-6x+9)\right)$$
$$=\frac12\left((2x-y)^2+(y-2)^2+2(x-3)^2\right)\ge 0.$$
Равенство возможно только при
$$ \begin{cases} 2x-y=0,\\ y-2=0,\\ x-3=0. \end{cases} $$
Но из $$y=2$$ и $$x=3$$ получаем $$2x-y=6-2=4\ne 0$$. Значит, равенство невозможно, и потому
$$3x^2-2xy+y^2-6x-2y+11>0.$$
г) Сгруппируем слагаемые:
$$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3=(x+y+z)^2+3.$$
Так как $$\left(x+y+z\right)^2\ge 0$$, то
$$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3\ge 3>0.$$
Ответ
Во всех пунктах многочлены принимают положительные значения при любых действительных значениях переменных.
