Упр.2.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.42. Найдите наименьшее значение выражения f(x; у) при заданном дополнительном условии: а) f(x; у) = х2 + 4у2 — 4ху + 3х — у + 6, х + у = 1; б) f(x; у) = 2х2 + у2 — 4ху + 3х — у + 6, х — 2у = 4.
а) Из условия $$x+y=1$$ выразим $$y$$:
$$y=1-x.$$
Подставим в выражение:
$$ f(x)=x^2+4(1-x)^2-4x(1-x)+3x-(1-x)+6. $$
Упростим:
$$ f(x)=x^2+4-8x+4x^2-4x+4x^2+3x-1+x+6=9x^2-8x+9. $$
Это квадратный трёхчлен, его наименьшее значение достигается в вершине параболы:
$$ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot 9}=\frac49. $$
Тогда
$$ f_{\min}=f\!\left(\frac49\right)=9\left(\frac49\right)^2-8\cdot\frac49+9 =\frac{16}{9}-\frac{32}{9}+9=\frac{65}{9}. $$
б) Из условия $$x-2y=4$$ выразим $$x$$:
$$x=4+2y.$$
Подставим в выражение:
$$ f(y)=2(4+2y)^2+y^2-4(4+2y)y+3(4+2y)-y+6. $$
Упростим:
$$ f(y)=2(16+16y+4y^2)+y^2-16y-8y^2+12+6y-y+6 $$
$$ f(y)=32+32y+8y^2+y^2-16y-8y^2+12+6y-y+6 =y^2+21y+50. $$
Минимум квадратного трёхчлена достигается при
$$ y_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{21}{2}. $$
Тогда
$$ f_{\min}=f\!\left(-\frac{21}{2}\right)=\left(-\frac{21}{2}\right)^2+21\left(-\frac{21}{2}\right)+50 =\frac{441}{4}-\frac{882}{4}+\frac{200}{4}=-\frac{241}{4}. $$
Ответ
а) $$\frac{65}{9}$$; б) $$-\frac{241}{4}$$.
