Упр.2.30 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.30 а) система x2y-4y3=0, x+2y2=12; б) система x3+3x2y=xy2+3y3, x2+xy=50;

Подробный ответ

а) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x^2y-4y^3=0,\\ x+2y^2=12. \end{cases} $$

Первое уравнение разложим на множители:

$$ x^2y-4y^3=y(x^2-4y^2)=y(x-2y)(x+2y)=0. $$

Значит, возможны случаи:

$$y=0.$$ Тогда из второго уравнения $$x=12.$$ Получаем точку $$\,(12;0).$$
$$x=2y.$$ Тогда из второго уравнения
$$ 2y+2y^2=12, $$
$$ y^2+y-6=0, $$
$$ (y+3)(y-2)=0. $$
Отсюда $$y=-3$$ или $$y=2.$$ Тогда
$$x=2y=-6$$ или $$x=4.$$
Получаем точки $$(-6;-3)$$ и $$(4;2).$$
$$x=-2y.$$ Тогда из второго уравнения
$$ -2y+2y^2=12, $$
$$ y^2-y-6=0, $$
$$ (y-3)(y+2)=0. $$
Отсюда $$y=3$$ или $$y=-2.$$ Тогда
$$x=-2y=-6$$ или $$x=4.$$
Получаем точки $$(-6;3)$$ и $$(4;-2).$$

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x^3+3x^2y=xy^2+3y^3,\\ x^2+xy=50. \end{cases} $$

Первое уравнение преобразуем:

$$ x^3+3x^2y-xy^2-3y^3=0, $$
$$ x^2(x+3y)-y^2(x+3y)=0, $$
$$ (x^2-y^2)(x+3y)=0, $$
$$ (x-y)(x+y)(x+3y)=0. $$

Рассмотрим случаи:

$$x=y.$$ Тогда из второго уравнения
$$ x^2+x^2=50, $$
$$ 2x^2=50, $$
$$ x^2=25, $$
$$ x=\pm 5. $$
Получаем точки $$(5;5)$$ и $$(-5;-5).$$
$$x=-y.$$ Тогда из второго уравнения
$$ x^2-x^2=50, $$
что невозможно. Этот случай не подходит.
$$x=-3y.$$ Тогда из второго уравнения
$$ 9y^2-3y^2=50, $$
$$ 6y^2=50, $$
$$ y^2=\frac{25}{3}, $$
$$ y=\pm \frac{5}{\sqrt3}. $$
Тогда
$$ x=-3y=\mp 5\sqrt3. $$
Получаем точки
$$ \left(-5\sqrt3;\frac{5}{\sqrt3}\right),\quad \left(5\sqrt3;-\frac{5}{\sqrt3}\right). $$