Упр.2.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.41. Найдите наибольшее значение выражения: а) —х2 — 40у2+ 10ху + 3; б) —х2 — 4ху — 10у2 + 14у + 12.

а) Преобразуем выражение к виду суммы квадратов:

$$ -x^2-40y^2+10xy+3 =-(x^2-10xy+25y^2)-15y^2+3 =-(x-5y)^2-15y^2+3. $$

Так как $$-(x-5y)^2 \le 0$$ и $$-15y^2 \le 0,$$ то наибольшее значение выражения достигается при $$x-5y=0$$ и $$y=0.$$ Тогда $$x=0,$$ и

$$ p_{\max}=3. $$

б) Преобразуем выражение:

$$ -x^2-4xy-10y^2+14y+12 =-(x^2+4xy+4y^2)-6y^2+14y+12 =-(x+2y)^2-6\left(y^2-\frac{7}{3}y\right)+12. $$

Дополняем до квадрата:

$$ y^2-\frac{7}{3}y=\left(y-\frac{7}{6}\right)^2-\frac{49}{36}. $$

Тогда

$$ -x^2-4xy-10y^2+14y+12 =-(x+2y)^2-6\left(y-\frac{7}{6}\right)^2+\frac{49}{6}+12 =-(x+2y)^2-6\left(y-\frac{7}{6}\right)^2+\frac{121}{6}. $$

Оба квадрата неотрицательны, значит наибольшее значение достигается при

$$ x+2y=0,\qquad y=\frac{7}{6}. $$

Следовательно,

$$ p_{\max}=\frac{121}{6}=20\frac{1}{6}. $$

Ответ

а) $$3$$; б) $$\frac{121}{6}$$.