Упр.2.29 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Обозначим

$$t=\frac1{x^2-xy}, \qquad m=\frac1{y^2-xy}.$$

Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} 5t+4m=\frac{13}{6},\\ 8t-m=1. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $6$, второе — на $24$:

$$ \begin{cases} 30t+24m=13,\\ 192t-24m=24. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$222t=37,\qquad t=\frac16.$$

Тогда из $8t-m=1$ получаем

$$m=8\cdot\frac16-1=\frac13.$$

Следовательно,

$$ \begin{cases} \frac1{x^2-xy}=\frac16,\\[4pt] \frac1{y^2-xy}=\frac13, \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-xy=6,\\ y^2-xy=3. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$x^2-y^2=3.$$

Из системы

$$ \begin{cases} x^2-xy=6,\\ y^2-xy=3 \end{cases} $$

получаем

$$x^2+xy-2y^2=0,$$

то есть

$$ (x-y)(x+2y)=0. $$

Рассмотрим случаи:

1) $$x=y.$$ Тогда из $$x^2-xy=6$$ получаем $$0=6,$$ что невозможно.

2) $$x=-2y.$$ Подставим в $$y^2-xy=3$$:

$$y^2-(-2y)\cdot y=3,$$
$$3y^2=3,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm1.$$

Тогда $$x=-2y,$$ значит

$$(-2;1), \quad (2;-1).$$

б) Обозначим

$$t=\frac1{2x^2+6xy}, \qquad m=\frac1{4y^2-2xy}.$$

Тогда система имеет вид

$$ \begin{cases} t+\frac32m=\frac{25}{14},\\ \frac32t-m=-\frac47. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $14$, второе — на $14$:

$$ \begin{cases} 14t+21m=25,\\ 21t-14m=-8. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $6$, второе — на $9$:

$$ \begin{cases} 84t+126m=150,\\ 189t-126m=-72. \end{cases} $$

Сложим:

$$273t=78,\qquad t=\frac{2}{7}.$$

Тогда

$$\frac32\cdot\frac27-m=-\frac47 \quad \Rightarrow \quad m=1.$$

Следовательно,

$$ \begin{cases} \frac1{2x^2+6xy}=\frac27,\\[4pt] \frac1{4y^2-2xy}=1, \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x^2+6xy=\frac72,\\ 4y^2-2xy=1. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $2$, второе оставим без изменений:

$$ \begin{cases} 4x^2+12xy=7,\\ 4y^2-2xy=1. \end{cases} $$

Из этой системы получаем

$$ 2x^2+13xy-4y^2=0. $$

Рассмотрим случаи:

1) $$x=\frac12y.$$ Тогда

$$4\left(\frac12y\right)^2+12\cdot\frac12y\cdot y=7,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm1,$$
$$x=\pm\frac12.$$

Получаем точки $$\left(\frac12;1\right), \left(-\frac12;-1\right).$$

2) $$x=-\frac14y.$$ Тогда

$$4\left(\frac1{16}y^2\right)-2\left(-\frac14y\right)y=1,$$
$$\frac14y^2+\frac12y^2=1,$$
$$\frac34y^2=1,$$
$$y^2=\frac43,$$
$$y=\pm\frac{2}{\sqrt3},$$
$$x=\mp\frac{1}{2\sqrt3}.$$

После упрощения получаем точки $$\left(\frac{1}{2\sqrt3};-\frac{2}{\sqrt3}\right), \left(-\frac{1}{2\sqrt3};\frac{2}{\sqrt3}\right).$$

Ответ

а) $$(-2;1),\ (2;-1).$$

б) $$\left(\frac12;1\right),\ \left(-\frac12;-1\right),\ \left(\frac{1}{2\sqrt3};-\frac{2}{\sqrt3}\right),\ \left(-\frac{1}{2\sqrt3};\frac{2}{\sqrt3}\right).$$