Упр.2.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 2.40. Найдите наименьшее значение выражения: а) х2 + 4у2 — 4ху + 3;б) х2 + 4ху + 5у2 + 2у + 7.

а) Преобразуем выражение к виду полного квадрата:

$$x^2+4y^2-4xy+3=x^2-4xy+4y^2+3=(x-2y)^2+3.$$

Так как $$\left(x-2y\right)^2 \ge 0,$$ то наименьшее значение выражения равно $$3$$.

б) Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты:

$$x^2+4xy+5y^2+2y+7=(x^2+4xy+4y^2)+(y^2+2y+1)+6.$$

Тогда

$$x^2+4xy+5y^2+2y+7=(x+2y)^2+(y+1)^2+6.$$

Поскольку $$\left(x+2y\right)^2 \ge 0$$ и $$\left(y+1\right)^2 \ge 0,$$ наименьшее значение выражения равно $$6$$.

Ответ

а) $$3$$; б) $$6$$.